Аналитическая геометрия. Аффинные преобразования плоскости

Пересекающиеся плоскости. Параллельные плоскости. Пара совпадающих плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости. Основное свойство аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант аффинного преобразования плоскости.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
9.2 Аффинные преобразования плоскости.

        Свойства аффинных преобразований плоскости.
       Перечислим некоторые свойства аффиннных преобразований.
       1. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием.
       2. Тождествееное преобразование x^' = x, y^' = y также является аффинным.
       Действительно, для этого преобразования

3. Преобразование, обратное данному аффинному (т.е. преобразование плоскости π, переводящее точки M^'(x^', y^') в точки М(x, y)), также является аффиннным.
Докажем это свойство. Обратно преобразование может быть получено следующим образом. Найдем x и y из соотношений (9.1.1). Для этого перепишем их следующим образом:

Решение этой системы имеет такой вид:

x = Δ_x / Δ, y = Δ_y / Δ, (9.2.1)

где

Находим определитель и полученные значения подставляем в формулу (9.2.1). Получим следующие выражения для обратного преобразования:

(9.2.2)

Видно, что линейное преобразование являетяс линейным. Чтобы доказать, что оно является аффинным, необходимо доказать, что его определитель Δ^' ≠ 0. В самом деле,

Итак, доказано, что преобразование, обратное данному аффинному,также является аффинным.
4. Аффинное преобразование представляет собой взаимно однозначное преобразование плоскости.
Это означает,что каждая точка M^'(x^', y^') есть образ единственной точки М(x, y) и в свою очередь каждая точка М(x, y) представляет собой прообраз лишь одной точки M^'(x^', y^'). Докажем это свойство. Предположим, что две точки М(x, y) и M^''(x^'', y^'') преобразуются с помощью (9.1.1) в одну точку M^'(x^', y^'). Тогда путем вычитания из соотношений (9.1.1) аналогичных соотношений для координат x^'', y^'' точки M^'' получим следующую систему линейных уравнений для разностей x - x^'', y - y^'':

Эта система имеет нулевое решение x - x^'' = 0, y - y^'' = 0, а так как ее определитель

то это нулевое решение единственно. Итак, x = x^'', y = y^'', т.е. точки М и M^'' совпадают. Таким образом, каждая точка M^'(x^', y^') есть образ единственной точки М(x, y) и каждая точка М(x, y) представляет собой прообраз лишь одной точки M^'(x^', y^').