Аналитическая геометрия. Параболоид эллиптический, гиперболический

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
8.4 Параболоид эллиптический, гиперболический.

Элллиптический параболоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.4.1)

где p ≥ q > 0. Они называются эллиптическими параболоидами.
Плоскость z = h при h < 0 не пересекает параболоид (8.4.1), при h = 0 имеет с ним единственную общую точку (0, 0, 0) и при h > 0 пересекает параболоид (8.4.1) по эллипсу с полуосями

монотонно возрастающими вместе с h от нуля до +∞.
       Плоскости y = h и x = h пересекают параболоид (8.4.1) по параболам с фокальными параметрами p и q, с вершинами в точках (0, h, h² / 2q) и (h, 0, h² / 2p) и с "рогами", направленными вверх.
       Плоскости x = 0 и y = 0 являются плоскостями симметрии параболоида (8.4.1). При p ≠ q других плоскостей симметрии у него нет.
        Гиперболический параболоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.4.2)

где p > 0, q > 0. Они называются гиперболическими параболоидами.
Плоскость z = h при h < 0 пересекает параболоид (8.4.2) по гиперболе с полуосями

монотонно убывающими от +∞ до нуля, когда h возрастает от -∞ до нуля. Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Ox, а мнимая - оси Oy. Плоскость z = 0 пересекает параболоид (8.4.2) по паре прямых, имеющей уравнение

а плоскость z = h при h > 0 - по гиперболе с полуосями

монотонно возрастающими вместе с h от нуля до +∞. В противоположность случаю h < 0, действительная ось этой гиперболы параллельна оси Oy, а мнимая - оси Ox.
Плоскости y = h и x = h пересекают параболоид (8.4.2) по параболам с фокальными параметрами p и q, с вершинами в точках (0, h, -h² / 2q) и (h, 0, h² / 2p). "Рога" первой параболы направлены вверх, а второй - вниз. Вершины парабол, высекаемых плоскостями y = h, лежат на параболе, высекаемой плоскостью x = 0, а вершины парабол, высекаемых плоскостями x = h, - на параболе, высекаемой плоскостью y = 0.
Плоскости x = 0 и y = 0 являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида (8.4.2).