Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
8.2 Гиперболоид однополостный, двуполостный.


        Двуполостный гиперболоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида
              (8.2.1)
где a ≥ b > 0, c > 0. Они называются двуполостными гиперболоидами.
        Плоскость z = h при |h| < c не пересекает гиперболоид (8.2.1), при |h| = c имеет с гиперболоидом (8.2.1) единственную общую точку ((0, 0, с) при h = c и (0, 0, -c) при h = -c) и при |h| > c пересекает гиперболоид (8.2.1) по эллипсу с полуосями
монотонно возрастающими (от 0 до +∞), когда |h| возрастает от с до +∞.
        Каждая плоскость y = h пересекает гиперболоид (8.2.1) по гиперболе с полуосями
монотонно возрастающими (от с и а до +∞), когда |h| возрастает от нуля до +∞.
        Каждая плоскость x = h пересекает гиперболоид (8.2.1) по гиперболе с полуосями
монотонно возрастающими (от с и b до +∞), когда |h| возрастает от нуля до +∞.
       Этим форма двуполостного гиперболоида полностью выяснена. В частности, видно, что этот гиперболоид состоит из двух симметричных частей, расположенных, соответственно, в полупространствах z ≥ c и z ≤ -c. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида, а начало координат - его центром симметрии.
        Однополостный гиперболоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида
              (8.2.2)
где a ≥ b > 0, c > 0. Они называются однополостными гиперболоидами.
        Каждая плоскость z = h пересекает гиперболоид (8.2.2) по эллипсу с полуосями
монотонно возрастающими от а и b до +∞, когда |h| возрастает от нуля до +∞.
       Эллипс
получающийся при h = 0, называется горловым эллипсом гиперболоида (8.2.2).
        Плоскость y = h при |h| < b пересекает гиперболоид (8.2.2) по гиперболе с полуосями
монотонно убывающими от а и с до нуля, когда |h| возрастает от нуля до b; при |h| = b она пересекает гиперболоид (8.2.2) по паре прямых, имеющих в координатах x, z уравнение
и при |h| > b - по гиперболе с полуосями
монотонно возрастающими от нуля до +∞, когда |h| возрастает от b до +∞. Мнимые (действительные) оси гипербол, получающихся при |h| > b, параллельны действительным (мнимым) осям гипербол, получающихся при |h| < b.
        Плоскость x = h при |h| < а пересекает гиперболоид (8.2.2) по гиперболе с полуосями
монотонно убывающими (от b и с до нуля), когда |h| возрастает от нуля до а; при |h| = а она пересекает гиперболоид (8.2.2) по паре прямых, имеющих в координатах y, z уравнение
и при |h| > а - по гиперболе с полуосями
монотонно возрастающими от нуля до +∞, когда |h| возрастает от а до +∞. Мнимые (действительные) оси гипербол, получающихся при |h| > а, параллельны действительным (мнимым) осям гипербол, получающихся при |h| < а.
       Однополостный гиперболоид имеет координатные плоскости плоскостями симметрии, а начало координат - центром симметрии.
       

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009