Аналитическая геометрия. Гиперболоид однополостный, двуполостный

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
8.2 Гиперболоид однополостный, двуполостный.

Двуполостный гиперболоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.2.1)

где a ≥ b > 0, c > 0. Они называются двуполостными гиперболоидами.
Плоскость z = h при |h| < c не пересекает гиперболоид (8.2.1), при |h| = c имеет с гиперболоидом (8.2.1) единственную общую точку ((0, 0, с) при h = c и (0, 0, -c) при h = -c) и при |h| > c пересекает гиперболоид (8.2.1) по эллипсу с полуосями

монотонно возрастающими (от 0 до +∞), когда |h| возрастает от с до +∞.
Каждая плоскость y = h пересекает гиперболоид (8.2.1) по гиперболе с полуосями

монотонно возрастающими (от с и а до +∞), когда |h| возрастает от нуля до +∞.
Каждая плоскость x = h пересекает гиперболоид (8.2.1) по гиперболе с полуосями

монотонно возрастающими (от с и b до +∞), когда |h| возрастает от нуля до +∞.
Этим форма двуполостного гиперболоида полностью выяснена. В частности, видно, что этот гиперболоид состоит из двух симметричных частей, расположенных, соответственно, в полупространствах z ≥ c и z ≤ -c. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида, а начало координат - его центром симметрии.
Однополостный гиперболоид. К этому типу принадлежат поверхности, имеющие в некоторой системе прямоугольных координат x, y, z уравнение вида

(8.2.2)

где a ≥ b > 0, c > 0. Они называются однополостными гиперболоидами.
Каждая плоскость z = h пересекает гиперболоид (8.2.2) по эллипсу с полуосями

монотонно возрастающими от а и b до +∞, когда |h| возрастает от нуля до +∞.
Эллипс

получающийся при h = 0, называется горловым эллипсом гиперболоида (8.2.2).
Плоскость y = h при |h| < b пересекает гиперболоид (8.2.2) по гиперболе с полуосями

монотонно убывающими от а и с до нуля, когда |h| возрастает от нуля до b; при |h| = b она пересекает гиперболоид (8.2.2) по паре прямых, имеющих в координатах x, z уравнение

и при |h| > b - по гиперболе с полуосями

монотонно возрастающими от нуля до +∞, когда |h| возрастает от b до +∞. Мнимые (действительные) оси гипербол, получающихся при |h| > b, параллельны действительным (мнимым) осям гипербол, получающихся при |h| < b.
Плоскость x = h при |h| < а пересекает гиперболоид (8.2.2) по гиперболе с полуосями

монотонно убывающими (от b и с до нуля), когда |h| возрастает от нуля до а; при |h| = а она пересекает гиперболоид (8.2.2) по паре прямых, имеющих в координатах y, z уравнение

и при |h| > а - по гиперболе с полуосями

монотонно возрастающими от нуля до +∞, когда |h| возрастает от а до +∞. Мнимые (действительные) оси гипербол, получающихся при |h| > а, параллельны действительным (мнимым) осям гипербол, получающихся при |h| < а.
Однополостный гиперболоид имеет координатные плоскости плоскостями симметрии, а начало координат - центром симметрии.