Аналитическая геометрия. Гипербола

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
7.3 Гипербола.

Определение 7.1. Линия на евклидовой плоскости называется гиперболой, если существует система прямоугольных координат x, y, в которых уравнние этой линии имеет вид

(7.3.1)

Координаты, в которых уравнение гиперболы имеет вид (7.3.1), называются каноническими, а само уравнение (7.3.1) называется каноническим уравнением гиперболы.
При b = a гипербола называется равнобочной. В координатах

(также прямоугольных) ее уравнение

x² - y² = a² (7.3.2)

приобретает вид

uv = 2a²,

откуда следует, что по отношению к координатам u и v равнобочная гипербола представляет собой известный график обратной пропорциональной зависимости. В координатах x и y получаем тот же график, но повернутый на π / 4.
       При u → -∞, u → +∞ (а также при v → -∞, v → +∞) график обратной пропорциональной зависимости все теснее приближается к оси абсцисс v = 0 (соответственно к оси ординат u = 0), т.е. имеет эти оси своимм асимптотами. В канонических координатах x, y эти асимптоты являются биссектрисами y = x и y = -x координатных углов.
       Чтобы перейти от равнобочной гиперболы (7.3.2) к произвольной гиперболе (7.3.1), достаточно произвести сжатие (x, y) → (x, ky) к оси абсцисс с коэффициентом k = b / a (этот коэффициент может быть больше единицы, так что сжатие может быть на самом деле растяжением). Это дает вполне удовлетворительное представление о форме гиперболы.
        В частности , гипербола состоит из двух связных частей, получающихся, соответственно, при x > a и при x < -a и обладает двумя асимптотами с уравнениями
y = bx / a и y = -bx / a, располагаясь в двух вертикальных углах, образованных ими.
        Эти части называются ветвями гиперболы, соответственно, - левой и правой.
       Так как в уравнение (7.3.1) входят только квадраты координат, то координатные оси будут осями симметрии гиперболы, а точка О(0, 0) будет ее центром симметрии. Гипербола никаких других осей симметрии не имеет (в том числе и при b = a). Действительно, любая симметрия гиперболы переводит асимптоты в асимптоты и, в частности, оставляет на месте их точку пересечения О(0, 0). Следовательно, каждая ось симметрии гиперболы проходит через точку О(0, 0) и потому является осью симметрии окружности

x² + y² = a²

Но из сказанного выше непосредственно вытекает, что гипербола (7.3.1) пересекает эту окружность в двух точках (-а, 0) и (а, 0). Поэтому рассматриваемая симметрия либо оставляет каждую из этих точек на месте (и, значит, является симметрией относительно оси абсцисс), либо переставляет эти точки (и, значит, является симметрией относительно оси ординат).
       Этим доказано, что оси системы канонических координат однозначно определены гиперболой, т.е. что c точностью до знаков канонические координаты единственны. Поэтому все объекты, определяющиеся с помощью канонических координат, но не меняющиеся при изменении их знаков, инвариантно связаны с гиперболой.
К ним относятся:
        число а, называемое действительной полуосью;
        число b, называемое мнимой полуосью;
        число

, называемое линейным эксцентриситетом;
число 2с, называемое фокусным расстояние;
число

, называемое (числовым) эксцентриситетом (1 < ε < ∞);
        число p = b² / a, называемое фокальным параметром;
        ось абсцисс, называемая действительной (или фокальной) осью;
        ось ординат, называемая мнимой осью;
       точка О(0, 0), называемая центром;
        точки (а, 0) и (-а, 0), называемые вершинами;
        точки (-с, 0) и (с, 0), называемые фокусами;
        прямые x = a / ε и x = -a / ε, называемые директрисами.
       Левые, правые и одноименные фркусы, директрисы и фокальные радиусы определяются дл ягиперболы точно так же, как для эллипса. Формулы

r²₁ = (εx + a)², r²₂ = (εx - a)²

для квадратов длин фокальных радиусов также сохраняются. Однако теперь извлечение корней следует проводить с осторожностью, поскольку для гиперболы |εx| > |x| ≥ a, и потому

Следовательно,

т.е. для всех x

|r₁ - r₂| = 2а.

Обратно, если абсолютная величина разности расстояний некоторой точки М(x, y) от фокуса гиперболы равна 2а, т.е. если

после преобразований, получим для x и y соотношение (7.3.1). Этим доказано, что гипербола (7.3.1) является геометрическим местом точек, абсолютная величина разности расстояний которых от фокусов равна 2а (фокальное свойство гиперболы. ) Из формул для r₁ и r₂ выводится директориальное свойство гиперболы, т.е. что гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от фокуса до одноименной директрисы равно ε.
Таким образом, эллипс, парабола и гипербола могут быть получены одной и той же "директориально - фокальной "конструкцией. Все различие будет лишь в величине эксцентриситета ε.
Уравнение касательной к гиперболе (7.3.1) в ее точке М₀(x₀, y₀) имеет вид

(7.3.3)

откуда следует, что для расстояний d₁ и d₂ от фокусов гиперболы до касательной в точке М₀ сохраняются прежние формулы

Поэтому, как и для эллипса,касательная в любой точке гиперболы образует с фокальным радиусами точки касания равные острые углы.
Это свойство называется оптическим свойством гиперболы. Касательная к гиперболе проходит между фокусами, и потому свет отражается не к фокусу, а от него.