Аналитическая геометрия. Эллипс

Линии второго порядка на плоскости. Диаметры. Эллипс. Парабола. Гипербола. Диаметры. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Мнимый, вырожденный эллипсоид. Гиперболоид однополостный, двуполостный. Конус. Параболоид эллиптический, гиперболический. Цилиндр.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
7.1 Эллипс.

Определение 7.1. Линия на евклидовой плоскости называется эллипсом, если существует система прямоугольных координат x, y, в которых уравнние этой линии имеет вид

(7.1.1)

Координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид (7.1.1), называются каноническими, а само уравнение (7.1.1) называется каноническим уравнением эллипса.
При b = a эллипс имеет уравнение

x² + y² = a², (7.1.2)

являющееся, очевидно, уравнением окружности радиуса а с центром в точке O(0, 0). Следовательно, окружность является частным случаем эллипса.
        При b < a сравним эллипс (7.1.1) с окружностью (7.1.2). Пусть k = b / a. Если точка с координатами x, y принадлежит окружности (7.1.2), то точка с координатами x, ky будет принадлежать эллипсу (7.1.1). Это означает, что эллипс (7.1.1) получается из окружности (7.1.2) преобразованием (x, y) → (x, ky), геометрическт представляющим собой сжатие плоскости к оси абсцисс в отношении k. Это дает удовлетворительное представление о форме эллипса и доказывает , что, за исключением точек (а, 0)
и (-а, 0), все точки эллипса (7.1.1) лежат внутри окружности (7.1.2).
       При b = a любая прямая, проходящая через точку О(0, 0), будет осью симметрии эллипса. Так как в уравнение (7.1.1) входят только квадраты координат, то координатные оси будут осями эллипса и при любых a и b. Являясь точкой пересечения осей симметрии, точка О(0, 0) будет центром симметрии эллипса.
       При b < a эллипс никаких других осей симметрии не имеет. Действительно, поскольку эллипс является ограниченной фигурой(расположен внутри окружности (7.1.2)), точка О(0, 0) является его единственным центром симметрии. Поэтому любая ось симметрии эллипса (7.1.1) проходит через точку О(0, 0) и, значит, является осью симметрии окружности (7.1.2). Поэтому симметрия в этой оси должна сохранять пересечение окружности (7.1.2) и эллипса (7.1.1), состоящее из двух точек (а, 0) и
(-а, 0). Следовательно, эта симметрия либо оставляет на месте обе точки (а, 0) и (-а, 0), либо их переставляет. В первом случае осью симметрии является ось абсцисс системы канонических координат, а во втором - ось ординат.
       Таким образом, при b < a оси системы канонических координат однозначно характеризуются эллипсом. Значит, с точностью до знаков канонические координаты единственны.
       Поэтому при b < a все объекты, определяющиеся с помощью канонических координат, но не зависящие от ориентации координат осей, будут инвариантно связаны с эллипсом.
        К ним относят:
        число a, называемые большой полуосью;
        число b, называемое малой полуосью;
        число

, называемое линейным эксцентриситетом;
число 2с, называемое фокусным расстояние;
число

, называемое (числовым ) эксцентриситетом (0 ≤ ε < 1);
        число p = b² / a, называемое фокальным параметром;
        ось абсцисс, называемая большой (или фокальной) осью;
        ось ординат, называемая малой осью;
        точка О(0, 0), называемая центром;
        точки (а, 0) и (-а, 0), (0, b) и (0, -b), называемые вершинами;
        точки (-с, 0) и (с, 0), называемые фокусами;
        при ε ≠ 0 прямые x = a / ε и x = -a / ε, называемые директрисами.
        Фокус (с, 0) и директриса x = a / ε называются правыми, а фокус (-с, 0) и директриса x = -a / ε - левыми. Фокус и директриса называются одноименными, если они оба - правые или оба - левые. Это отношение между фокусом и директрисой геометрически инвариантно, тогда как свойство фокуса (директрисы) быть правым или левым зависит от ориентации оси абсцисс.
        Для окружности b = a, c = 0, ε = 0, p = a, фокусы совпадают с центром, а директрисы не определены.

       Отрезок, соединяющий точку М(x, y) эллипса с фокусом, называется фокальным радиусом этой точки. Имеется два фокальных радиуса - правый и левый.
       Для длины r₁ левого фокального радиуса имеет место формула

Поскольку |x| ≤ а и, значит, |εx| < a, отсюда следует, что

r₁ = a + εx.

Аналогично доказывается, что для длины r₂ правого фокального радиуса справедлива формула

r₂ = a - εx.

Следовательно,

r₁ + r₂ = 2a .

Обратно, пусть М(x, y) - такая точка плоскости, что сумма ее расстояний от фокусов эллипса равна 2а:

После многочисленных преобразований, получим уравнение (7.1.1). Этим доказано, что эллипс (7.1.1) является геометрическим местом точек, сумма расстояний которых от фокусов равна 2а.
Это свойство эллипса называется его фокальным свойством.

Расстояние точки М(x, y) эллипса (7.1.1) до левой директрисы x = -a / ε равно

а до правой -

Обратно, если

то

и поэтому

что, очевидно, равносильно уравнению (7.1.1). Этим доказано, что эллипс (7.1.1) является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от фокуса до одноименной директрисы равно ε.
Это свойство эллипса называется его директориальным свойством.

Верхняя половина эллипса (расположенная в полуплоскости y > 0) является графиком функции

а нижняя - графиком функции

В первом случае

и, как легко видеть, то же равенство будет иметь место и во втором случае. Значит, касательная к эллипсу в любой его точке М₀(x₀, y₀) (отличной от вершины (а, 0), (-а, 0)) имеет уравнение

Умножая на y₀, деля на b² и учитывая равенство

можно переписать это уравнение в следующем виде:

(7.1.3)

Поскольку в вершинах (а, 0) и (-а, 0) касательными к эллипсу (7.1.1) являются вертекальные прямые x = a, x = -a и, следовательно, уравнение (7.1.3) годится и для этих точек, мы получаем таким образом, что касательная к эллипсу (7.1.1) в произвольной точке М₀(x₀, y₀) имеет уравнение (7.1.3).
В частности, мы видим, что расстояние d₁ от первого фокуса F₁(-с, 0) до касательной к эллипсу в точке М₀(x₀, y₀) выражается формулой

- нормирующий множитель, а r₁ - длина левого фокального радиуса точки М₀. Аналогично, расстояние d₂ от правого фокуса F₂(с, 0) до той же касательной выражается формулой

где r₂ - длина правого фокального радиуса точки М₀.
Теперь легко видеть, что касательная в любой точке М₀ эллипса образует с фокальным радиусом точки касания равные острые углы. Действительно, если φ₁ и φ₂ - эти углы, то

.
Таким образом, sinφ₁ = sinφ₂, и поэтому φ₁ = φ₂. Это свойство называется оптическим свойством. Оно означает, что все лучи света, исходящие из одного фокуса, после отражения в эллипсе собираются в его другом фокусе.