Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Разделение плоскости прямой. Разделение пространства плоскостью. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
6.2 Разделение пространства плоскостью.

       Пусть плоскость π в аффинной системе координат Oxyz определяется уравнением
Ax + By +Cz + D = 0.               (6.2.1)
    Теорема 6.4. Точки М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2) принадлежат разным полупространствам относительно плоскости π тогда и только тогда, когда
(Ax1 + By1+Cz1 + D)(Ax2 + By 2+Cz2 + D) < 0.                (6.2.2)
    Доказательство повторяет доказательство теоремы 6.1. Теорема доказана.
        Полупространство, для точек М(x, y, z) которого Ax + By +Cz + D > 0, называется положительнsv полупространством относительно уравнения (6.2.1) плоскости π, а полупространство, для точек которого Ax + By +Cz + D < 0, − отрицательным полупространством.
    Теорема 6.5. Вектор нормали n = {A, B, С} к плоскости π: Ax + By +Cz + D = 0, отложенный от любой точки плоскости, направлен в сторону положительного полупространства.
    Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 6.2. Теорема доказана.
        Плоскость в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат. Рассматривается прямоугольная декартовая система координат Oxyz в пространстве, определяемая ортонормированным базисом e1, e2, e3. Известно (замечанние 3.), что вектор нормали n = {A, B, С} перпендикулярен плоскости π, заданной уравнением (5.3.5).
       Расстояние от точки до плоскости.
    Теорема 6.6. В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz расстояние от точки М0(x0, y0, z0) до плоскости (5.3.5) определяется формулой
               (6.2.3)

       Угол между плоскостями. Пусть плоскости π1 и π2 заданы уравнением
πi : Axi + Byi+Czsub>i + D = 0,    Ai2 + Bi2 + Ci2 ≠ 0,     i = 1, 2,               (6.2.4)

        Вообще говоря, две пересекающиеся плоскости π1 и π2 образуют два угла, в сумме равные π. Достаточно определить один из них. Так как векторы нормали n1 и n2 перпендикулярны плоскостям, то угол φ = совпадают с одним из углов между плоскостями π1 и π2. Итак, согласно (4.1.6) угол φ между плоскостями (6.2.4), совпадающий с углом между их нормалями, определяются формулой
.
       В частности, плоскости π1 и π2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2 + В1В2 + С1С2 = 0.

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009