Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Разделение плоскости прямой. Разделение пространства плоскостью. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве.
Индивидуальные онлайн уроки:
Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Аналитическая геометрияBodrenko.com Bodrenko.org
6.2 Разделение пространства плоскостью.
Пусть плоскость π в аффинной системе координат Oxyz определяется уравнением
Ax + By +Cz + D = 0. (6.2.1)
Теорема 6.4. Точки М1(x1, y1, z1) и
М2(x2, y2, z2) принадлежат разным полупространствам относительно плоскости π тогда и только тогда,
когда
Доказательство
повторяет доказательство теоремы 6.1. Теорема доказана.
Полупространство, для точек М(x, y, z) которого Ax + By +Cz + D > 0, называется положительнsv полупространством относительно уравнения (6.2.1)
плоскости π, а полупространство, для точек которого Ax + By +Cz + D < 0, − отрицательным полупространством.
Теорема 6.5. Вектор нормали n = {A, B, С} к плоскости π: Ax + By +Cz + D = 0, отложенный от любой точки плоскости,
направлен в сторону положительного полупространства. Доказательство теоремы аналогично
доказательству теоремы 6.2. Теорема доказана.
Плоскость в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат. Рассматривается прямоугольная декартовая система координат Oxyz в пространстве, определяемая ортонормированным базисом
e1, e2, e3. Известно (замечанние 3.), что вектор нормали n = {A, B, С} перпендикулярен плоскости π,
заданной уравнением (5.3.5). Расстояние от точки до плоскости.
Теорема 6.6. В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz расстояние от точки
М0(x0, y0, z0) до плоскости (5.3.5) определяется формулой
(6.2.3)
Угол между
плоскостями. Пусть плоскости π1 и π2 заданы уравнением
Вообще говоря, две пересекающиеся плоскости π1 и π2 образуют два угла, в сумме равные π. Достаточно определить один из них.
Так как векторы нормали n1 и n2 перпендикулярны плоскостям, то угол φ = совпадают с одним из углов между плоскостями π1 и π2.
Итак, согласно (4.1.6) угол φ между плоскостями
(6.2.4), совпадающий с углом между их нормалями, определяются формулой
. В частности, плоскости π1
и π2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2 + В1В2 + С1С2 = 0.
(6.2.3)
совпадают с одним из углов между плоскостями π1 и π2.
Итак, согласно (