Аналитическая геометрия. Разделение плоскости прямой

Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Разделение плоскости прямой. Разделение пространства плоскостью. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
6.1 Разделение плоскости прямой.

Пусть прямая l в аффинной системе координат Oxy определяется уравнением

Ax + By +C = 0. (6.1.1)

    Теорема 6.1. Точки М₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) принадлежат разным полуплоскостям относительно прямой l тогда и только тогда, когда
(Ax₁ + By ₁+C)(Ax₂ + By ₂+C) < 0.              (6.1.2)
    Доказательство. Предварительно заметим, что точка М₀(x₀, y₀) являетяс внутренней точкой отрезка [М₁М₂] тогда и только тогда, когда

, где 0 < t < 1, т.е. x₀ = x₁ + tx₂, y₀ = y₁ + ty₂, 0 < t <1. Точки М₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) принадлежат разным полуплоскостям тогда и только тогда, когда существует точка М₀(x₀, y₀), общая для прямой l и отрезка [М₁М₂], причем точка М₀ является внутренней точкой отрезка [М₁М₂], т.е.

       С учетом очевидного тождества С = tC + (1 - t)C получим, что точки М₁, М₂ принадлежат разным полуплоскостям тогда и только тогда, когда существует число t такое, что t(Ax₁ + By ₁+C) + (1 - t)(Ax₂ + By ₂+C) = 0, 0 < t <1, или в обозначениях Ax₁ + By ₁+C = F₁, Ax₂ + By ₂+C = F₂, (1 -t)F₁ + tF₂, 0 < t < 1. Это равносильно тому. что F₁F₂ < 0. Теорема доказана.
       Итак, для координат (x, y) всех одной полуплоскости выполняется неравенство Ax + By +C > 0, а другой − неравенство Ax + By +C < 0. Полуплоскость, для точек М(x, y) которой Ax + By +C > 0, называется положительной полуплоскостью относительно уравнения (6.1.1) прямой l и обозначается символом π₊, а полуплоскость, для точек которой Ax + By +C < 0, − отрицательной полуплоскостью и обозначается π_-.
    Теорема 6.2. Вектор нормали n = {A, B} к прямой l: Ax + By +C = 0, отложенный от любой точки прямой, направлен в сторону положительной полуплоскости.
    Доказательство. Пусть М₀(x₀, y₀) − произвольная точка прямой l. Отложим вектор n от точки М₀, пусть конец вектора n совпадает с точкой М₁(x₁, y₁). Тогда n = {x₁ - x₀, y₁ - y₀} = {A, B} и, следовательно, x₁ = А + x₀, y₁ = В + y₀. Подставив координаты x₁, y₁ точки М₁ в левую часть уравнения прямой l, получаем, что Ax₁ + By ₁+C = A² + B² + Ax₀ + By₀+C = A² + B<>² > 0, так как Ax₀ + By₀+C = 0 и n ≠0. Теорема доказана.
       Прямая на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат. Рассматривается прямоугольная декартовая система координат Oxy на плоскости, определяемая ортонормированным базисом e₁, e₂. Известно
( замечанние 2.), что вектор нормали n = {A, B} перпендикулярен прямой l, заданной уравнением (5.2.6).
       Расстояние от точки до прямой.
    Теорема 6.3. В прямоугольной декартовой системе координат Oxy расстояние ρ (M₀, l) от точки М₀(x₀, y₀) до прямой (5.2.6) определяется формулой
             (6.1.3)

    Доказательство. Пусть М₀ ∉ l (для точек М₀ ∈ l равенство (6.1.3) очевидно). Опустим из точки М₀ перпендикуляр на прямую l, пусть М₁(x₁, y₁) − основание перпендикуляра. Тогда

= αn и

(6.1.4)

Найдем α. Так как x₀ = x₁ + αА, y₀ = y₁ + αB, то Ax₀ + By₀+C = Ax₁ + By ₁+C + α(A² + B²) = α(A² + B²). Отсюда α = ( Ax₀ + By₀+C)/ (A² + B²). Подставив это значение α в (6.1.4), получим (6.1.3). Теорема доказана.
Угол между прямыми. Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнением

l_i : Ax_i + By_i+C = 0, A_i² + B_i² ≠ 0, i = 1, 2 (6.1.5)

Вообще говоря, две пересекающиеся прямые l₁ и l₂ образуют два угла, в сумме равные π. Достаточно определить один из них. Так как векторы нормали n₁ и n₂ перпендикулярны прямым, то угол φ =

совпадают с одним из углов между прямыми l₁ и l₂. Итак, согласно (4.1.6) угол φ между прямыми (6.1.5), совпадающий с углом между их нормалями, определяются формулой

В частности, прямые l₁ и l₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда A₁A₂ + В₁В₂ = 0.