Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
5.4 Прямая в пространстве.       Уравнения прямой. 1. Векторное уравнение ( 5.2.4) прямой на плоскости остается справедливым и для прямой в пространстве, так как и в пространстве прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором. Итак, если в пространстве зафиксирован полюс О, то уравнение прямой, проходящей через точку M0(r0), с направляющим вектором а имеет вид
r = r0 + ta,       t ∈ R.         (5.4.1)
       Пусть в аффинной системе координат точка M0 имеет координаты (x0, y0, z0), а вектор а = {m, n, k}. Тогда уравнение (5.4.1) может быть записано в координатной форме:
            (5.4.2)
        Уравнения (5.4.1) и (5.4.2) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве в векторной и координатной формах соответственно.
        2. Уравнение (5.4.1), означающее коллинеарность векторов r - r0 и а, может быть записано и в терминах пропорциональности координат векторов r - r0 = { x - x0, y - y0, z - z0} и а = {m, n, k}:
            (5.4.3)

       Уравнения (5.4.3) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
        Так же как и для канонического уравнения (5.2.3) прямой на плоскости, уравнения (5.4.3) говорят лишь о пропорциональности и координатах векторов r - r0 и а. Если, например, m = 0, то уравнения (5.4.3) переходят в уравнения
Если же m = 0, n = 0, то уравнения (5.4.3) переходят в уравнения
x - x0 = 0, y - y0 = 0,
т.е. прямая является линией пересечения плоскостей x - x0 = 0 и y - y0 = 0.
       3. Для прямой, проходящей через две различные точки М0(x0, y0, z0) и М1(x1, y1, z1), легко получить уравнения (5.4.1) - (5.4.3), так как в качестве направляющего вектора может быть взят вектор а = = { x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0}.
       4. Векторное уравнение (5.4.1) порождает и другие формы векторных уравнений прямой в пространстве. В самом деле, это уравнение означает коллиниарность векторов r - r0 и а, что согласно критерию коллиниарности (теорема 4.5) равносильно равенству
[r - r0, а] = 0             (5.4.4)
или в силу линейности векторного произведения,
[r, a] = M,      где М = [r0, а].    (5.4.5)
.
       5. Каждая прямая может быть представлена как пересечение двух плоскостей. Практически уравнения (6.3.3) задают прямую именно таким образом, так как они эквивалентны системе из двух линейных уравнений, каждое из которых определяет плоскость. Дадим общую формулировку этого факта. В аффинной системе координат Oxyz прямая l, являющаяся линией пересечения плоскостей πi : Axi + Byi+Czsub>i + D = 0,     i = 1, 2, определяется системой уравнений
                (5.4.6)
где
                (5.4.7)
       Условие (5.4.7) означает, что плоскости π1 и π2 пересекаются. Систему (5.4.6) называют общими уравнениями прямой в пространстве.
       Важно уметь переходить от одного типа уравнения прямой к другому. Переход от каждого из уравнений (5.4.1) - (5.4.5) к любому другому очевиден. Для перехода от (5.4.6) к (5.4.1) - (5.4.5) необходимо найти точку M0 и направляющий вектор а. Координаты точки M0 можно найти как частное решение системы (5.4.6). Найдем вектор а.
    Теорема 5.10. Если в аффинной системе координат Oxyz прямая l задана общими уравнениями (5.4.6), то вектор
                (5.4.8)
является направляющим вектором этой прямой.

    Доказательство. Отметим прежде всего, что а ≠ 0 в силу условия (5.4.7). Далее, вектор а параллелен плоскотям π1 и π2, так как разложения определителей
по первой строке совпадают с условиями ( 5.3.6) параллельности вектора а плоскостям π1 и π2. Итак, ненулевой вектор а параллелен каждой из плоскостей π1 и π2. Следовательно, он является направляющим вектором линии их пересечения. Теорема доказана.
    Замечание 1. Для запоминания координат вектора а может быть использован мнемонический определитель
где e1, e2, e3 − базис, соответствующий системе координат Oxyz. Разложение этого определителя по первой строке совпадает с разложением вектора а по базису e1, e2, e3.
    Замечание 2. Теорема 5.10 относится к аффинной системе координат. Очевидно, что в прямоугольной декартовой системе координат, соответствующей ортонормированному базису e1, e2, e3, вектор (5.4.8) может быть получен как векторное произведение [n1, n2] нормалей n1 и n2 к плоскостям π1 и π2.
       Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Пусть каждая из прямых li,     i = 1, 2, задана точкой Мi(xi, yi, zi) и направляющим вектором аi = {mi, ni, ki} в некоторой аффинной системе координат Oxyz. Положим b = .
    Теорема 5.11. Прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда
                (5.4.9)

    Доказательство. Действительно, прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы b, а1, а2 компланарны, т.е. линейно зависимы(теорема 2.8). Согласно теореме 2.2 это равносильно тому, что один из них линейно выражается через другие. В силу линейности координат то же относится и к координатам, что означает равенство нулю определителя, строками которого являются эти координаты. Теорема доказана.
    Замечание 3. В прямоугольной декартовой системе координат условие (5.4.9) может быть получено из критерия компланарности векторов b, а1, а2 ( теорема 4.7 и соотношение (4.2.6)).
    Теорема 5.12. Прямые l1 и l2 совпадают тогда и только тогда, когда
                (5.4.10)
параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда
                (5.4.11)
пересекаются тогда и только тогда, когда
                 (5.4.12)

    Доказательство. Условие (5.4.10) равносильно тому, что векторы b, а1, а2 коллиниарны; условие (5.4.11) minus; тому, что векторы а1, а2 коллиниарны, а векторы b, а1, а2 компланарны, но не коллиниарны; условие (5.4.12) − тому, что векторы а1, а2 коллиниарны, а векторы b, а1, а2 компланарны. Отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
       Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть в пространстве в некоторой аффинной системе координат Oxyz заданы плоскость
π : Ax + By + Cz + D = 0
и прямая
l : r = r0 + ta,
где r0 = { x0, y0, z0}, а = {m, n, k}.
    Теорема 5.13. Прямая l лежит в плоскости π тогда и только тогда, когда
прямая l параллельна плоскости π, но не лежит в ней тогда итолько тогад, когда
прямая l пересекает плоскость π тогда и только тогда, когда
Am + Bn + Ck ≠ 0.
Утверждение теоремы следует из критерия (5.3.6) параллельности вектора а и плоскости π.
        Прямая в пространстве в прмоугольной декартовой системе координат. Пусть Oxyz − прямоугольная декартова система координат пространства.     1. Угол между двумя прямыми в пространстве называется любой из углов между параллельными им прямыми, проходящими через какую - либо точку пространства. Таким образом, две прямые в пространстве образуют между собой два различных (если они не перпендикулярны) угла, в сумме равные π. Очевидно, что угол между направляющими векторами прямых равен одному из этих углов. Следовательно, угол φ между прямыми li : r = ri + tai, i = 1, 2, совпадающий с углом между их направляющими векторами аi = {mi, ni, ki}, вычисляется согласно (4.1.6) по формуле

       2. Углом между прямой и плоскостью (если они не перпендикулярны) называется меньший из углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость. Если же прямая и плоскости перпендикулярны, то угол между ними считается равным π/2. Угол φ между прямой l : r = r0 + ta и плоскостью π : Ax + By + Cz + D = 0 находится как дополнительный к углу между направляющим вектором прямой а = {m, n, k} и вектором нормали к плоскости n = {A, B, C} и вычисляется согласно (4.1.6) по формуле

       3. Расстояние ρ (M1, l) от точки M1(r1) до прямой l : r = r0 + ta находится как высота h (рис. 1) параллелограмма, построенного на векторах а и , площадь и основание которого известны:
       Соотношения (4.2.5), (4.1.6) позволяют вычислить ρ (M1, l) по прямоугольным координатам.

       4. Расстояние между скрещивающимися прямыми li : r = ri + tai, i = 1, 2, называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые l1 и l2. Это расстояние ρ( l1, l2) находится как высота параллелепипеда (рис. 2), построенного на векторах , а1, а2, объем и площадь основания которого известны :

       Соотношения ((4.2.6)), (4.1.6) позволяют вычислить ρ( l1, l2) по прямоугольным координатам.

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009