Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
5.3 Уравнение плоскости в пространстве.

       Каноническое уравнение. Два неколлиниарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами. Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная плоскость с заданными напрвляющими векторами.
       Пусть плоскость π с направленными векторами p1 и p2 проходит через точку М0. Очевидно, точка М лежит в плоскости π тогда и только тогда, когда (рис. 1) векторы , p1, p2 компланарны, т.е. линейно зависимы.
       С учетом условия неколлиниарности векторов p1 и p2 это равносильно тому, что вектор линейно выражается через p1 и p2:
      u, v ∈ R.         (5.3.1)

    Теорема 5.6. В пространстве в аффинной системе координат Oxyz уравнение плоскости π, проходящей через точки М0(x0, y0, z0), с направляющими вектороми p1 = {m1, n1, k1} и p2 = {m2, n2, k2} имеет вид
                     (5.3.2)

       Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.2.
        Уравнеие (5.3.2) называется каноническим уравнением плоскости.
    Cледствие 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М0(x0, y0, z0), М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, имеет вид

       Параметрическое уравнение.Так же, как для прямой, условие (5.3.1) может быть переписано в виде
r = r0 + up1 + v2,      u, v ∈ R,        (5.3.3)

или, в координатной форме, в системе координат Oxyz
                  (5.3.4)

        Уравнения (5.3.3), (5.3.4) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах.
    Теорема 5.7. Поверхность в пространстве является плоскостью тогда и только тогда, когда она является алгебраической поверхностью первого порядка.
       Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.3 с той лишь разницей, что уравнение плоскости имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0,     где       A2 + B2 + C2≠ 0,        (5.3.5).
а уравнение (5.3.5) может быть записано в виде
(случаи B ≠ 0 и C ≠ 0 рассматриваются аналогично). Теорема доказана.
     Уравнение (5.3.5) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор n = {A, B, С} называется вектором нормали к плоскости относительно уравнения (5.3.5).
    Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты А, В, С, D отличны от нуля.
    Теорема 5.8. В аффинной системе координат Oxyz в пространстве вектор а = {m, n, k}, параллелен плоскости, заданной общим уравнением (5.3.5), тогда и только тогда, когда
Am + Bn + Сk = 0,                     (5.3.6)
    Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.4. Теорема доказана.
    Замечание 3. Левые части условия (5.3.6) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали n и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, в прямоугольной декартовой системе координат вектор нормали n = {A, B, С} к плоскости (5.3.5) перпендикулярен этой плоскости.
       Уравнение в отрезках. Полное уравнение (5.3.5) плоскости в пространстве может быть записано в следующем виде:
Полагая а = - D/А, b = - D/B, c = - D/C, получим эквивалентное уравнение
,
называемое уравнением плоскости в отрезках. Числа а, b, с в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.

       Векторное уравнение. 1. Параметрическое уравнение (5.3.3) представляет собой векторное уравнение плоскости в пространстве через направляющие вектора. Оно пораждает другие формы векторных уравнений плоскости. Это уравнение означает компланарность векторов r - r0, p1 и p2, что согласно критерию компланарности (теорема 4.7) равносильно равенству
( r - r0, p1, p2) = 0             (5.3.7)
или, в силу линейности смешанного произведения,
(r, p1, p2) = D              (5.3.8)
где D − константа, равная (r0, p1, p2).
        2. Из аксиом геометрии следует, что в пространстве через заданную точку проходит единственная плокость, перпендикулярная заданному вектору.
    Теорема 5.9. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку М0(r0) перпендикулярно вектору n, имеет вид
( r - r0, n) = 0,                     (5.3.9)
или, что то же самое,
( r, n) = D,                      (5.3.10)
где D − константа, равная (r0, n).

    Доказательство.Утверждение теоремы вытекает из того, что точка M(r) лежит на плоскости тогда итолько тогда, когда векторы и n ортогональны. Теорема доказана.

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009