Аналитическая геометрия. Уравнение плоскости в пространстве

Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
5.3 Уравнение плоскости в пространстве.

Каноническое уравнение. Два неколлиниарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами. Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная плоскость с заданными напрвляющими векторами.

Пусть плоскость π с направленными векторами p₁ и p₂ проходит через точку М₀. Очевидно, точка М лежит в плоскости π тогда и только тогда, когда (рис. 1) векторы

, p₁, p₂ компланарны, т.е. линейно зависимы.
С учетом условия неколлиниарности векторов p₁ и p₂ это равносильно тому, что вектор

линейно выражается через p₁ и p₂:

u, v ∈ R. (5.3.1)

    Теорема 5.6. В пространстве в аффинной системе координат Oxyz уравнение плоскости π, проходящей через точки М₀(x₀, y₀, z₀), с направляющими вектороми p₁ = {m₁, n₁, k₁} и p₂ = {m₂, n₂, k₂} имеет вид
                     (5.3.2)

       Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.2.
        Уравнеие (5.3.2) называется каноническим уравнением плоскости.
    Cледствие 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М₀(x₀, y₀, z₀), М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂), не лежащие на одной прямой, имеет вид

       Параметрическое уравнение.Так же, как для прямой, условие (5.3.1) может быть переписано в виде

r = r₀ + up₁ + v₂, u, v ∈ R, (5.3.3)

или, в координатной форме, в системе координат Oxyz

(5.3.4)

        Уравнения (5.3.3), (5.3.4) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах.
    Теорема 5.7. Поверхность в пространстве является плоскостью тогда и только тогда, когда она является алгебраической поверхностью первого порядка.
       Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.3 с той лишь разницей, что уравнение плоскости имеет вид

Ax + By + Cz + D = 0, где A² + B² + C²≠ 0, (5.3.5).

а уравнение (5.3.5) может быть записано в виде

(случаи B ≠ 0 и C ≠ 0 рассматриваются аналогично). Теорема доказана.
     Уравнение (5.3.5) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор n = {A, B, С} называется вектором нормали к плоскости относительно уравнения (5.3.5).
    Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты А, В, С, D отличны от нуля.
    Теорема 5.8. В аффинной системе координат Oxyz в пространстве вектор а = {m, n, k}, параллелен плоскости, заданной общим уравнением (5.3.5), тогда и только тогда, когда
Am + Bn + Сk = 0,                     (5.3.6)
    Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.4. Теорема доказана.
    Замечание 3. Левые части условия (5.3.6) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали n и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, в прямоугольной декартовой системе координат вектор нормали n = {A, B, С} к плоскости (5.3.5) перпендикулярен этой плоскости.
       Уравнение в отрезках. Полное уравнение (5.3.5) плоскости в пространстве может быть записано в следующем виде:

Полагая а = - D/А, b = - D/B, c = - D/C, получим эквивалентное уравнение

называемое уравнением плоскости в отрезках. Числа а, b, с в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.

Векторное уравнение. 1. Параметрическое уравнение (5.3.3) представляет собой векторное уравнение плоскости в пространстве через направляющие вектора. Оно пораждает другие формы векторных уравнений плоскости. Это уравнение означает компланарность векторов r - r₀, p₁ и p₂, что согласно критерию компланарности (теорема 4.7) равносильно равенству

( r - r₀, p₁, p₂) = 0 (5.3.7)

или, в силу линейности смешанного произведения,

(r, p₁, p₂) = D (5.3.8)

где D − константа, равная (r₀, p₁, p₂).
        2. Из аксиом геометрии следует, что в пространстве через заданную точку проходит единственная плокость, перпендикулярная заданному вектору.
    Теорема 5.9. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку М₀(r₀) перпендикулярно вектору n, имеет вид
( r - r₀, n) = 0,                     (5.3.9)
или, что то же самое,
( r, n) = D,                      (5.3.10)
где D − константа, равная (r₀, n).
    Доказательство.Утверждение теоремы вытекает из того, что точка M(r) лежит на плоскости тогда итолько тогда, когда векторы

и n ортогональны. Теорема доказана.