Аналитическая геометрия. Уравнение прямой на плоскости

Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
5.2 Уравнение прямой на плоскости.

Каноническое уравнение. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее напрвляющим вектором. Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная прямая с заданным направляющим вектором.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку М₀. Очевидно, точка М лежит на прямой l (рис. 1) тогда и только тогда, когда векторы

и а коллиниарны, т.е. линейно зависимы. С учетом условия а ≠ 0 это равносильно тому, что вектор

линейно выражается через а:

= ta, t ∈ R. (5.2.1)

       Таким образом, условию (5.2.1) удовлетворяют все точки М прямой l, и только они.
    Теорема 5.2. На плоскости в аффинной системе координат Oxy уравнение прямой l, проходящей через точку М₀(x₀, y₀), с направляющим вектором а = {m, n} имеет вид
                     (5.2.2)
или
                      (5.2.3)
    Доказательство.Пусть точка М имеет координаты (x, y) , тогда

= {x - x₀, y - y₀}. Условие (5.2.1) в силу линейности координат означает, что в определителе (5.2.2) первая строка линейно выражается через вторую, а это равносильно равенству (5.2.2). Итак, уравнению (5.2.2) удовлетворяют координаты (x, y) всех точек прямой l, и только они. Равенство нулю определителя второго порядка равносильно <пропорциональности его строк, т.е. условию (5.2.3). Теорема доказана.
    Замечание 1. Уравнение (5.2.3) означает лишь пропорциональность и в случае, когда m = 0 или n = 0, равносильно уравнению x - x₀ = 0 или y - y₀ = 0 соответственно.
       Уравнения (5.2.2), (5.2.3) назыавются каноническими уравнениями прямой на плоскости.
    Cледствие 1. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М₀(x₀, y₀) и М₁(x₁, y₁), имеет вид

       Это следует из того, что вектор

является направляющим вектором прямой.
Параметрическое уравнение. Этот тип уравнений представляет собой другую форму записи условия (5.2.1). Пусть r =

, r₀ =

− радиус - векторы точек М и M₀ относительно полюса О. Тогда

= r - r₀ и условие (5.2.1) может быть записано в виде

r = r₀ + ta, t ∈ R, (5.2.4)

или, в координатной форме, в системе координат Oxy

(5.2.5)

        Уравнения (5.2.4), (5.2.5) называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в векторной и координатной формах.
       Общее уравнение.
    Теорема 5.3. Линия на плоскости является прямой тогда и только тогда, когда она является алгебраической линией первого порядка.
    Доказательство. Необходимость. Пусть l − прямая на плоскости, прходящая через точку M₀ и параллельная ненулевому вектору а. Пусть Oxy − произвольная аффинная система координат и а = {m, n}, М₀(x₀, y₀). Тогда прямая l описывается каноническим уравнением (5.2.2) или, что то же самое, уравнением n(x - x₀) - m(y - y₀) = 0, которое, если положить А = n, B = -m, C = -n x₀ + my₀, может быть записано в виде

Ax + By + C = 0. (5.2.6)

Так как вектор а = {m, n} ≠ 0, то по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля. Поэтому левая часть уравнения (5.2.6) представляет собой алгебраический многочлен первой степени. Следовательно, любая прямая на плоскости является алгебраической линией первого порядка.
Достаточность. Пусть в аффинной системе координат Oxy линия l определяется уравнением (5.2.6). Это уравнение имеет частное решение

, ибо Ax₀ + By₀ + C ≡ 0

Вычитая последнее равенство из (5.2.6), получим,что А(x - x₀) + В(y - y₀) = 0 или, что то же самое,

В силу теоремы 5.2 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку М₀(x₀, y₀), с направляющим вектором а = {-В, А}. Теорема доказана.
    Уравнение (5.2.6) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор n = {A, B} называется вектором нормали к прямой относительно уравнения (5.2.6).
    Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, С отличны от нуля.
    Теорема 5.4. В аффинной системе координат Oxy на плоскости вектор а = {m, n}, параллелен прямой, заданной общим уравнением (5.2.6), тогда и только тогда, когда
Am + Bn = 0,                     (5.2.7)
    Доказательство.Как следует из доказательства теоремы 5.3, вектор b = {-В, А} является направляющим вектором прямой. Это означает, что вектор а параллелен этой прямой тогда и только тогда, когда а коллинеарен b, т.е. когда

или, что то же самое, Am + Bn = 0. Теорема доказана.
Замечание 2. Левые части условия (5.2.7) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали n и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, в прямоугольной декартовой системе координат вектор нормали n = {A, B} к прямой (5.2.6) перпендикулярен этой прямой.
Уравнение в отрезках. Полное уравнение (5.2.6) прямой на плоскости может быть записано в следующем виде:

Полагая а = - С/А, b = - C/B, получим эквивалентное уравнение

называемое уравнениями прямой в отрезках. Числа а, b в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает прямая на осях координат.

Векторное уравнение. 1. Параметрическое уравнение (5.2.4) представляет собой векторное уравнение прямой на плоскости через направляющий вектор. Оно пораждает другие формы векторных уравнений прямой. Это уравнение означает компланарность векторов r - r₀ и а, что согласно критерию компланарности
(теорема 4.7) равносильно равенству

( r - r₀, а) = 0 (5.2.8)

или, в силу линейности смешанного произведения,

(r, а) = С (5.2.9)

где С − константа, равная (r₀, а).
        2. Из аксиом геометрии следует, что на плоскости через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная заданному вектору.
    Теорема 5.5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М₀(r₀) перпендикулярно вектору n, имеет вид
( r - r₀, n) = 0,                     (5.2.10)
или, что то же самое,
( r, n) = D,                      (5.2.11)
где D − константа, равная (r₀, n).
    Доказательство.Утверждение теоремы вытекает из того, что точка M(r) лежит на прямой тогда итолько тогда, когда векторы

и n ортогональны. Теорема доказана.