Аналитическая геометрия. Понятия об уравнениях линии и поверхности

Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
5.1 Понятия об уравнениях линии и поверхности.

Пусть Oxy и Oxyz − афинные системы координат на плоскости и в пространстве. Уравнение

F(x, y) = 0, (5.1.1)

соответствеено

F(x, y, z) = 0, (5.1.2)

называется уравнением линии L на плоскости (поверхности π в пространстве) в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии L (поверхности π), и только они. Очевидно, что уравнения в заданной системе координат определяют одну и ту же линию (поверхность) тогда и только тогда, когда они эквивалентны.
Алгебраическим одгочленом относитеьно переменных x, y (соответственно x, y, z) с вещественным коэффициентом λ называется выражение

λ x^py^q (λ x^py^qz^r), (5.1.3)

где p, q, r − целые неотрицательные числа. Если λ ≠ = 0, то число p + q (p + q + r) называется степенью одночлена. Алгебраическим многочленом относительно переменных x, y (x, y, z) с вещественными коэффициентами называется конечная сумма алгебраических одночленов (5.1.3). Наибольшая степень одночленов, входящих в многочлен, называется cтепенью многочлена.
       Линия на плоскости (поверхность в пространстве) называется алгебраической, если в некоторой аффинной системе координат она определяется уравнением (5.1.1) (соответственно (5.1.2)), где F(x, y) (соответственно F(x, y, z)) − алгебраический многочлен от переменных x, y (x, y, z) с вещественными коэффициентами. Степень многочлена F(x, y) (соответственно F(x, y, z)) называется порядком линии (поверхности).
    Теорема 5.1. При переходе от одной аффинной системе координат к другой алгебраическая линия (поверхность) остается алгебраической и порядок ее не изменяется.
    Доказательство проведем для линии. Пусть на плоскости в аффинной системе координат Oxy линия L определяеися уравнением (5.1.1), где F(x, y) − алгебраический многочлен степени n. При переходе к новой системе координат O^'x^'y^' уравнение (5.1.1) преобразуется в уравнение F^'( x^', y^') = 0. Покажем, что F^'(x^', y^') − тоже алгебраический многочлен и его степень n^' = n. Для этого вкаждый одночлен λ x^py^q многочлена F(x, y) вместо x и y подставим их выражения через x_', y_' согласно формулам преобразования координат . Тогда λ x^py^q = λ(с₁₁x^' + с₁₂y^' + α)^p(с₂₁x^' + с₂₂y^' + β)^q. Следовательно, одночлен λ x^py^q преобразуется в алгебраический многочлен от переменных x^p, y^q, степень которого не превосходит p + q. При этом многочлен F(x, y) преобразуется в алгебраический многочлен F^'(x^', y^'), степень которого n^' ≤ n. Если в этих рассуждениях поменять ролями системы координат, то получим, что n ≤ n^', т.е. n^' = n. Теорема доказана.