Аналитическая геометрия. Скалярное произведение

Скалярное произведение. Векторное и смешанное произведение. Линии и поверхности первого порядка. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
4.1 Скалярное произведение.

Определение и основные факты.Пусть a и b − ненулевые векторы. Отложим их от одной точки О.Пусть

. Угол между векторами a и b называется наименьший угол между лучами [OA) и [OB). Обозначение:

. Корректность определения очевидна. Из определения следует, что 0 ≤

≤ π.
Скалярным произведением ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов a или b нулевой, то скалярное произведение этих векторов по определению считается равным нулю. Обозначение: (a,b). Итак, для ненулевых векторов a и b

4.1.1

. Обозначим через pr_ab ортогональную проекцию вектора b на ось, определенную вектором а ≠ 0(рис. 1).

Теорема 4.1. Если а ≠ 0, то для любого вектора b

(a, b) = |a| (pr_ab) = (a, pr_ab). 4.1.2

Доказательство. Утверждение теоремы очевидно для b = 0 и

Пусть b ≠ 0 и

. Тогда (рис. 1)

Отсюда следует, что (pr_ab) = |b| cos φ и, тем самым, (a, b) = |a| (pr_ab). Вторая часть соотношения (4.1.1) вытекает из первой, так как pr_apr_ab = pr_ab. Теорема доказана.
    Теорема 4.2. Для любых векторов a, b, с и числа α ∈ R

(a, b) = (b, a);
(a + b, c) = (a, c) + (b, c);
(αa, b) = α(a, b);
(a, a) ≥ 0, причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда а = 0.
    Доказательство.Свойства 1 и 4 очевидны. Докажем свойство 2. Имеем (a + b, c) = (с, a + b) = |c| (pr_c(a + b)) = {cогласно теореме 3.5} = |c| (pr_ca) + |c| (pr_cb) = (a, c) + (b, c). Аналогично проверяется свойство 3.Теорема доказана.
    Следствие 1. Из свойств 1-3 следует, скалярное произведение линейно и по второму множителю:
(a, b + c) = (a, b) + (a, c),     (a, αb) = α(a, b).

       Скалярное произведение в координатах. Свойство линейности скалярного произведения позволяет перемножатьлинейные комбинации векторов (т.е. находить их скалярное произведение):

4.1.3

Это, в частности, означает, что скалярное произведение векторов может быть вычесленно по их координатам, если известна "таблица умножения" базисных векторов. Возможность подобного вычисления скалярного произведения векторов позволяет определить по координатам длину вектора и угол между векторами, так как

Задача вычисления скалярного произведения векторов по их координатам существенно упрощается, если рассматривается ортонормированный базис. Векторы a и b называются ортогональными, если (a, b) = 0. Из определения следует, что векторы a и b ортогональны тогда и только тогда, когда либо один из них нулевой, либо они перпендикулярны. В терминах ортогональности векторов ортонормированность базиса е₁, … ,e_n, где n=1, 2, 3, означает, что

4.1.4

    Теорема 4.3. Скалярное произведение векторов а = α₁e₁ + α₂e₂ + α₃e₃ и b = β₁e₁ + β₂e₂ + β₃e₃ равно сумме попарных произведений координат
                                        4.1.5
тогда и только тогда, когда e₁, e₂, e₃ − ортонормированный базис.     Доказательство. Необходимость вытекает из (4.1.3) и (4.1.4). Достаточность. Соотношения (4.1.4) вытекают из (4.1.5), если учксть, что векторы e₁, e₂, e₃ в базисе e₁, e₂, e₃ имеют координаты (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Теорема доказана.
    Следствие 2. Если векторы а = {α₁,α₂, α₃}, b = {β₁, β₂, β₃} заданы координатами в ортонормированном базисе, то

4.1.6

Следствие 3. В прямоугольной декартовой системе координат расстояние ρ(A, B) между точками А(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) равно

Это равенство следует из того, что