Аналитическая геометрия. Геометрический смысл линейной зависимости

Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
2.3 Геометрический смысл линейной зависимости.

Будем рассматривать геометричекие вектора на прямой, на плоскости и в пространстве. Выясним, что означает линейная зависимость геометрических векторов.

Утверждение 1. На прямой (на плоскости и в пространстве) существует нулевой вектор (соответственно два неколлиниарных и три некомпланарных вектора) .

Доказательство. В случае прямой достаточно взять две несовпадающие точки О и А(рис. 1, а), тогда вектор а =

≠ 0. На плоскости достаточно взять три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой (рис.1, б), тогда векторы а =

и b =

неколлиниарны. В пространстве достаточно взять четыре точки О, А, В, С, не лежащие в одной плоскости (рис. 1, в), тогда векторы а =

, b =

, с =

некомпланарны. Теорема доказана.

Утверждение 2. На прямой ( на плоскости и в пространстве) всякий вектор линейно выражается через любой ненулевой вектор (соответственно любые два неколлиниарных и любые три некомпанарных вектора).

Доказательство. 1. Пусть a, b− векторы на прямой и a ≠ 0. Отложим их от одной точки О прямой. Пусть а = , b = (рис. 2, а). Если b = 0, то b = 0a. Если b ≠ 0, то, взяв

согласно определению произведения вектора на число получим, что b = αa.
2. Пусть а, b, с − векторы плоскости и a, b неколлиниарны (значит, ни один из них не равен 0). Отложим эти векторы от одной точки О плоскости. Пусть а =

, b =

, с =

(рис. 2, б). Если с = 0, то с = 0а + 0b. Если с ≠ 0, то проведем из точки С прямые, параллельные прямым ОВ и ОА, до пересечения с прямыми ОА и ОВ соответственно. Пусть точки А₁, B₁ − точки пересечения этих прямых (существование точек пересечения следует из неколлиниарности

). Тогда

₁ +

₁. Отсюда и из первой части утверждения получим, что c = αa + βb.
3. Пусть a, b, c, d − векторы пространства и a, b, c некомпланарны (значит, попарно неколлиниарны и, тем более, ни один из них не равен 0). Отложим эти векторы от одной точки О. Пусть а =

, b =

, с =

, d =

(рис. 2, в). Если d = 0, то d = 0а + 0b + 0c. Если d ≠ 0, то проведем из точки D плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОАС, ОАВ (это плоскости, так как

попарно неколлиниарны), до пересечения с прямыми ОА, ОВ, ОС соответственно. Пусть А₁, B₁, C₁ −точки пересечения (существование точек пересечения следует из некомпланарности

). Тогда

₁ +

₁. Осюда и из первой части утверждения получим, что d = αa + βb + γc. Теорема доказана.

Теорема 2.7. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллиниарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a, b линейно зависимы, тогда в силу теоремы 2.2 один из них линейно выражается через другой. пусть b = αa. Отсюда и из определения произведения вектора на число следует коллиниарность a и b.
Достаточность. Пусть a и b коллиниарны, т.е. параллельны одной прямой. Будем считать, что а ≠ 0 (так как если а = 0, то линейная зависимость а, b следует из теорем 2.1 и 2.3). Отложим а, b от одной точки. Тогда они окажутся на одной прямой, при этом, согласно утверждению 2, b = αa. В силу теремы 2.2 отсюда следует линейная зависимость a, b. Теорема доказана.

Следствие 1. Любые два (значит, и более) вектора прямой линейно зависимы.

Теорема 2.8. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a, b, c линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через другие. Пусть c = αa + βb. Усли а и b коллиниарны, то а, b, с коллиниарны и, тем более, компланарны. Если a и b неколлинеарны, то отложим векторы a, b, c от одной точки (рис. 2, б). Тогда вектор с, являясь диагональю параллелограмма, построенного на векторах αa и βb, окажется в той же плоскости, что и a, b. Значит, a, b, c компланарны.
Достаточность. Пусть a, b, c компланарны, т.е. параллельны одной плоскости. Будем считать, что a, b неколлиниарны (так как если a, b коллиниарны, то линейная зависимость a, b, c следует из линейной зависимости подсистемы). Отложим a, b и с от одной точки. Тогда они окажутся в одной плоскости и на основании утверждения 2 будем иметь c = αa + βb. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствие 2. Любые три (значит, и более) вектора плоскости линейно зависимы.

Теорема 2.9. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Будем считать, что в четверке векторов a, b, c, d векторы a, b, c некомпланарны (так как если a, b, c компланарны, то линейная зависимость a, b, c, d вытекает из линейной зависимости подсистемы). Тогда на основании утверждения 2 будем иметь
d = αa + βb + γc. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c, d линейно зависимы. Теорема доказана.

Содержание
Предыдущая
Следующая