Аналитическая геометрия. Линейная зависимость.

Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
2.2 Линейная зависимость.

    Пусть а₁,a₂,…,a_k − векторы линейного пространства V и α₁,α₂,…,α_k − действительные числа. Вектор α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_ka_k называется линейной комбинацией векторов а₁,a₂,…,a_k с коэффициентами α₁,α₂,…,α_k. Если вектор b является линейной комбинацией векторов а₁,a₂, …,a_k, то говорят, что вектор b линейно выражается через векторы а₁,a₂,…,a_k, при этом представление вектора b в виде b = α₁а₁ + … + α_ka_k называется разложением вектора b по векторам а₁,a₂,…,a_k. Очевидно, нулевой вектор линейно выражается через любой вектор, так как θ = 0a, ∀ a ∈ V. Через нулевой вектор не может выражаться ни один ненулевой вектор, так как αθ = θ, ∀ α ∈ R.
  Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной, если среди ее коэффициентов хотя бы один отличен от нуля. очевидно, тривиальная комбинация любой системы векторов равна нулевому вектору.
   Система векторов а₁,a₂,…,a_k называется линейно зависимой, если существует нетривиальная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е. если существуют числа α₁,α₂,…,α_k, одновременно не равные нулю, такие, что

α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_ka_k = θ, (2.2.1)

и линейно независимой, если нулевому вектору равна только тривиальная линейная комбинация этих векторов, т.е. если из равенства (2.2.1) следует, что

α₁ = α₂ =… = α_k = 0.

Теорема 2.1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогд, когда этот вектор нулевой.

Доказательство. Линейная зависимость системы из одного вектора а равносильна тому, что αa = θ при некотором α ≠ 0, а это, в свою очередь, равносильно ( свойства 3, 4. ) тому, что а = θ. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Система векторов а₁,a₂,…,a_k, где k > 1, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие.

Доказательство. Необходимость. Если система векторов а₁,a₂,…,a_k линейно зависима, то существуют числа α₁,α₂,…,α_k, одновременно не равные нулю и такие, что

α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_ia_i + … + α_ka_k = θ. (2.2.2)

Пусть α_i ≠ 0. Тогда в силу (2.2.2) a_i = ∑_s≠i(−α_s / α_i)a_s. Так как k > 1, то для вектора a_i существует хотя бы один "другой" вектор системы.
Достаточность. Пусть a_i = ∑_s≠iα_sa_s. Тогда, перенеся правую часть этого неравенства в левую, получим нетривиальную линейную комбинацию векторов системы, равную нулевому вектору: −α₁а₁ − … − α_i-1a_i-1 + 1 a_i − α_i+1a_i+1 − … − α_ka_k = θ.
Теорема доказана.

Эта теорема дает другое определение линейной зависимости системы векторов, в которой более одного вектора.

Теорема 2.3. Если подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать подсистемой системы векторов а₁, a₂, … , a_s , … , a_k ее первые s векторов. Из линейной зависимости а₁, a₂, … , a_s следует, что α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_sa_s = θ для некоторых чисел α₁,α₂,…,α_s, среди которых существует a_i ≠ 0. Тогда α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_sa_s + 0a_s+1 + … + 0a_k = θ, причем a_i ≠ 0. Следовательно, система векторов а₁, a₂, … , a_s , … , a_k линейно зависима. Теорема доказана.

Теорема 2.4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.
В самом деле, если бы существовала линейно зависимая система, то на основании теоремы 2.3 вся система была бы линейно зависимой. Теорема доказана.

Теорема 2.5.Система векторов а₁,a₂,…,a_k линейно независима тогда и только тогда, когда любой вектор, являющийся линейной комбинацией этих векторов, имеет единственное разложение по этим векторам.

Доказательство.Необходимость доказывается от противного. Пусть существует вектор b, который имеет два различных разложения по векторам
а₁, a₂, …, a_k: b = ∑^k_i=1α_ia_i, b = ∑^k_i=1α_i^'a_i, ∃ α_s ≠ α_s^'. Вычитая почленно одно равенство из другого, получим нетривиальную линейную комбинацию векторов а₁, a₂, … , a_k, равную нулевому вектору. Отсюда следует линейна язависимость а₁, a₂, … , a_k.
Достаточность также доказывается от противного. Пусть система а₁, a₂, … , a_k линейно зависима, тогда

α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_ka_k = θ (2.2.3)

для некоторых чисел α₁,α₂,…,α_k, среди которых существует >α_s ≠ 0. Но, с другой стороны,

0а₁ + 0a₂ + … + 0a_k = θ. (2.2.4)

Мы получили два различных разложения (2.2.3) и (2.2.4) нулевого вектора θ по векторам а₁,a₂,…,a_k. Теорема доказана.

Теорема 2.6. Если система векторов а₁,a₂,…,a_k линейно независима, а система а₁,a₂,…,a_k,b линейно зависима, то вектор b линейно выражается через векторы а₁,a₂,…,a_k.

Доказательство. Из линейной зависимости системы векторов а₁,a₂,…,a_k, b следует, что

α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_ka_k + α₀b = θ (2.2.5)

для некоторых чисел α₁,α₂,…,α_k,α₀, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Если α₀ = 0, то ненулевой коэффициент α_s находится среди чисел α₁,α₂,…,α_k; при этом (2.2.5) переходит в равенство α₁а₁ + α₂a₂ + … + α_ka_k = θ, где α_s ≠ 0, 1 ≤ s ≤ k, которое противоречит условию линейной независимости а₁,a₂,…,a_k. Следовательно, α₀ ≠ 0; отсюда и из (2.2.5) получаем, что b = ∑^k_i=1(−α_i / α₀)а_i. Теорема доказана.

Содержание
Предыдущая
Следующая