Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
2.1 Линейные пространства.

    Аксиомы.Будем рассматривать множества, наделенные двумя законами композиций: внутренним и внешним.
Внутренним законом композиции (алгебраической операцией) на множестве X называется отображение
* : X × X → X,

т.е. закон, посредством которого любой упорядоченной паре элементов a,b ∈ X ставится в соответствие однозначно определенный элемент с ∈ X. (a,b) → c, записывается символически в виде a * b = c.
Пусть X и P − два множества. Внешним законом композиции на множестве X называется отображение
(•) : P × X → X

т.е. закон, посредством которого любому элементу α ∈ P и любому элементу x ∈ X ставится в соответствие однозначно определенный элемент с ∈ X. (α,x) → c, обозначается символом с = αx. Вунтренний закон компазициии будем называть сложением, а внешний - умножением на вещественное число. Согласно этой терминалогии на этих множествах указаны два правила:    Непустое множество V называется вещественным линейным пространством, если на нем заданы два закона композиции:
    внутренний закон композиции, подчиненный аксиомам
  1. a + b =b + a, ∀ a, b ∈ V (аксиома коммутативности),
  2. (a + b) + c = a + (b + c), ∀ a,b,c ∈ V (аксиома ассоциативности),
  3. ∃ θ ∈ V : a + θ = a, ∀ a ∈ V,
  4. ∀ a ∈ V ∃ (− a) ∈ V : a + (− a) = θ;
    внешний закон композиции, полчиненный аксиомам
  5. 1•a = a, ∀ a ∈ V,
  6. (αβ)a = α(βa), ∀ α, β ∈ R, ∀ a ∈ V;
    и если оба закона связаны между собой аксиомами
  7. (α + β)a = αa + βa, ∀ α,β ∈ R, ∀ a ∈ V (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел),
  8. α(a + b) = αa + αb, ∀ α ∈ R, ∀ a, b ∈ V(аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов V).

  Линейное пространство называют также векторным пространством.
  Элементы линейного пространства называют векторами. Вектор θ называют нулевым вектором пространства, а вектор (−а) − противоположным к вектору а. Нулевой вектор обозначают также символом 0. Разностью векторов b и а линейного пространства V называется вектор x ∈ V такой, что a + x = b. Обозначение: b − a.     Простейшие свойства линейных пространств. Следующие свойства линейных пространств являются элементарными следствиями из аксиом.
  1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор, так как если θ1 и θ2 − два нулевых вектора, то из аксиомы 3 следует, что θ1 = θ1 + θ2 = θ2.
  2. Для любого вектора линейного пространства существует единственный противоположный вектор, так как если b и c − два противоположных вектора к вектору а, то, последовательно применяя аксиомы 3, 4, 2, получим, что
    b = b + (a + c) = (b + a) + c = c.
  3. В линейном пространстве спраедливы равенства: 0а = θ, ∀ a ∈ V и αθ = θ,
    ∀ α ∈ V.

    Доказательство.
    Для доказательства первого равенства достаточно проверить, что b + 0a = b, ∀ b ∈ V. Это соотношение вытекает из следующей цепочки равенств, основанных на аксиомах 2 - 7: b + 0a = (b + θ) + 0a = b + ((−a) + a) + 0a = (b + (−a)) + a + 0a = (b + (−a)) + 1a + 0a = (b + (−a)) + (1 + 0)a = (b + (-a)) + a =
    b + ((-a) + a) = b + θ = b.
     Второе равенство доказывается с помощью первого и акстомы 6: если а − произвольный вектор пространства, то αθ = α(0a) = (α0)a = 0a = θ. Доказано.
  4. В линейном пространстве из равенства αa = θ следует, что либо α = 0,
    либо а = θ.

     В самом деле, как следует из свойства 3, случай α = 0 возможен, если αa = θ . В случае когда α ≠ 0, на основании свойства 3 и аксиом 5, 6 получим
    а = 1а = ((1/α)α)a = (1/α)(αa) = (1/α)θ = θ.
  5. В линейном пространстве для любого вектоа а противоположный вектор может быть получен как произведение
    −a = (−1)a.
    Это утверждение вытекает из аксиом 3-5, 7 и свойства 3, так как
    a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1 - 1)a = 0a = θ.
  6. Для любой пары векторов a и b линейного пространства существует, и притом единственная, разность b − a.
     Доказательство. Вектор b + (-a) являются разностью b − a векторов а и b, так как на основании аксиом 1 - 4 и определения разности имеем
    a + (b + (−a) = a + (−a) + b = θ + b = b.
    При этом если с − любая другая разность b − a, то из аксиом 2 - 4 следует, что
    с = с + θ = c + (a + (−a)) = (c + a) + (−a) = b + (−a). Доказано.

Содержание
Предыдущая
Следующая

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009