Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.
Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок:
Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Аналитическая геометрияBodrenko.com Bodrenko.org
2.1 Линейные пространства.
Аксиомы.Будем рассматривать множества, наделенные двумя законами композиций:
внутренним и внешним. Внутренним законом композиции (алгебраической операцией) на множестве X называется отображение
* : X ×
X → X,
т.е. закон, посредством которого любой упорядоченной паре элементов a,b ∈ X ставится в соответствие однозначно определенный элемент с ∈ X. (a,b) → c,
записывается символически в виде a * b = c.
Пусть X и P − два множества. Внешним законом композиции на множестве X называется отображение
(•) : P × X → X
т.е. закон, посредством которого любому элементу α ∈ P и любому элементу x ∈ X ставится в соответствие однозначно определенный элемент с ∈ X.
(α,x) → c, обозначается символом с = αx. Вунтренний закон компазициии будем называть сложением, а внешний - умножением на вещественное число.
Согласно этой терминалогии на этих множествах указаны два правила:
правило, посредством которого любой упорядоченной паре элементов a, b множества ставится в соответствие однозначно
определенный элемент a + b из этого же множества, называемый суммой элементов a и b;
парвило, посредством которого любому вещественному числу α и любому элементу a
множества ставится в соответствие однозначно определенный элемент αa этого же множества, называемый произведением элемента а на число α.
Непустое множество V называется вещественным линейным пространством, если на нем заданы два закона композиции:
внутренний закон композиции, подчиненный аксиомам
a + b =b + a, ∀ a, b ∈ V (аксиома коммутативности),
(a + b) + c = a + (b + c), ∀ a,b,c ∈ V
(аксиома ассоциативности),
∃ θ ∈ V : a + θ = a, ∀ a ∈ V,
∀ a ∈ V ∃ (− a) ∈ V : a + (− a) = θ;
внешний закон композиции, полчиненный аксиомам
1•a = a, ∀ a ∈ V,
(αβ)a = α(βa), ∀ α, β ∈ R, ∀ a ∈ V;
и если оба закона связаны между собой аксиомами
(α + β)a = αa + βa, ∀ α,β ∈ R, ∀ a ∈ V (аксиома дистрибутивности умножения на число
относительно сложения чисел),
α(a + b) = αa + αb, ∀ α ∈ R, ∀ a, b ∈ V(аксиома дистрибутивности умножения на число относительно
сложения элементов V).
Линейное пространство называют также векторным пространством. Элементы линейного пространства называют
векторами. Вектор θ называют нулевым вектором пространства, а вектор (−а) − противоположным к вектору а. Нулевой вектор обозначают также
символом 0. Разностью векторов b и а линейного пространства V называется вектор x ∈ V такой, что a + x = b. Обозначение: b − a.
Простейшие свойства линейных пространств. Следующие свойства линейных пространств являются элементарными следствиями из аксиом.
В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор, так как если θ1 и θ2 − два нулевых вектора, то
из аксиомы 3 следует, что θ1 = θ1 + θ2 = θ2.
Для любого вектора линейного пространства существует единственный
противоположный вектор, так как если b и c − два противоположных вектора к вектору а, то, последовательно применяя аксиомы 3, 4, 2, получим, что b = b + (a + c) =
(b + a) + c = c.
В линейном пространстве спраедливы равенства: 0а = θ, ∀ a ∈ V и αθ = θ, ∀ α ∈ V. Доказательство.
Для доказательства первого равенства достаточно проверить, что b + 0a = b, ∀ b ∈ V. Это соотношение вытекает из следующей цепочки равенств, основанных на аксиомах 2 - 7:
b + 0a = (b + θ) + 0a = b + ((−a) + a) + 0a = (b + (−a)) + a + 0a = (b + (−a)) + 1a + 0a = (b + (−a)) + (1 + 0)a = (b + (-a)) + a = b + ((-a) + a) = b + θ = b.
Второе равенство доказывается с помощью первого и акстомы 6: если а − произвольный вектор пространства, то αθ = α(0a) = (α0)a = 0a = θ.
Доказано.
В линейном пространстве из равенства αa = θ следует, что либо α = 0, либо а = θ. В самом деле, как следует из свойства 3,
случай α = 0 возможен, если αa = θ . В случае когда α ≠ 0, на основании свойства 3 и аксиом 5, 6 получим
а = 1а = ((1/α)α)a = (1/α)(αa) = (1/α)θ = θ.
В линейном пространстве для любого вектоа а противоположный вектор может быть получен как
произведение
−a = (−1)a.
Это утверждение вытекает из аксиом 3-5, 7 и свойства 3, так как
a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1 - 1)a = 0a = θ.
Для любой пары векторов a и b линейного пространства существует, и притом
единственная, разность b − a. Доказательство. Вектор b + (-a) являются разностью b − a векторов а и b, так как на основании аксиом 1 - 4 и определения
разности имеем
a + (b + (−a) = a + (−a) + b = θ + b = b.
При этом если с − любая другая разность b − a, то из аксиом 2 - 4
следует, что с = с + θ = c + (a + (−a)) = (c + a) + (−a) = b + (−a). Доказано.