Аналитическая геометрия. Пучки плоскостей

Аффинные преобразования пространства. Ортогональные преобразования. Проективные координаты. Координаты прямой. Пучки прямых. Однородные аффинные координаты. Пучки плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
10.4 Пучки плоскостей.

Пусть в пространстве фиксирована некоторая система аффинных координат x, y, z, для любой плоскости в пространстве будем считать ее однородными координатами
(A : B : C : D) коэффициенты ее уравнения

Ax + By + Cz + D = 0. (10.4.1)

Пусть

A₀x + B₀y + C₀z + D₀ = 0,
A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 (10.4.2)

- две различные плоскости в пространстве и пусть μ и ν - такие параметры, что среди первых трех чисел

(11.4.3)

имеются числа, отличные от нуля (и, значит определена плоскость (A : B : C : D)).
       Множество всех плоскостей (A : B : C : D), получающихся по формулам (10.4.3), называется пучком плоскостей, определенным плоскостями (10.4.2).
       Каждый пучок является множеством всех плоскостей, либо проходящих через данную прямую в пространстве, либо параллельных данной плоскости.
        В первом случае пучок плоскостей называется собственным, а во втором - несобственным. Прямая, через которую проходят все плоскости собственного пучка, называется его осью (или центральной прямой).
       Пусть

(10.4.4)

- три плоскости в пространстве, не принадлежащие одному пучку, и пусть μ₀, μ₁, μ₂ - такие параметры, что среди первых трех чисел

(10.4.5)

имеются числа, отличные от нуля (и, значит, определена плоскость (A : B : C : D)).
       Множество всех плоскостей (A : B : C : D), получающихся по формулам (10.4.5), называется связкой плоскостей,определенной плоскостями (10.4.4).
       Каждая связка является множеством всех плоскостей, либо проходящих через данную точку, либо параллельных данной прямой.
        В первом случае связка плоскостей называется собственной, а во втором - несобственной. Точка, через которую проходят плоскости собственной связки, называется ее центром.

    Утверждение. Множество плокостей тогда и только тогда является связкой, когда принадлежащие ему плоскости (A : B : C : D) характеризуются соотношением вида
AX + BY + CZ + DT = 0.               (10.4.6)
Коэффициенты X, Y, Z, T этого уравнения называются однородными аффинными координатами данной точки в рассматриваемой аффинной координатной системе Оe₁e₂e₃.