Аналитическая геометрия. Пучки плоскостей

Аффинные преобразования пространства. Ортогональные преобразования. Проективные координаты. Координаты прямой. Пучки прямых. Однородные аффинные координаты. Пучки плоскостей. Линейные преобразования. Линейные преобразования плоскости. Аффинные преобразования плоскости.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
10.4 Пучки плоскостей.

Пусть в пространстве фиксирована некоторая система аффинных координат x, y, z, для любой плоскости в пространстве будем считать ее однородными координатами
(A : B : C : D) коэффициенты ее уравнения

Ax + By + Cz + D = 0. (10.4.1)

Пусть

A₀x + B₀y + C₀z + D₀ = 0,
A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 (10.4.2)

- две различные плоскости в пространстве и пусть μ и ν - такие параметры, что среди первых трех чисел

(11.4.3)

имеются числа, отличные от нуля (и, значит определена плоскость (A : B : C : D)).
       Множество всех плоскостей (A : B : C : D), получающихся по формулам (10.4.3), называется пучком плоскостей, определенным плоскостями (10.4.2).
       Каждый пучок является множеством всех плоскостей, либо проходящих через данную прямую в пространстве, либо параллельных данной плоскости.
        В первом случае пучок плоскостей называется собственным, а во втором - несобственным. Прямая, через которую проходят все плоскости собственного пучка, называется его осью (или центральной прямой).
       Пусть

(10.4.4)

- три плоскости в пространстве, не принадлежащие одному пучку, и пусть μ₀, μ₁, μ₂ - такие параметры, что среди первых трех чисел

(10.4.5)

имеются числа, отличные от нуля (и, значит, определена плоскость (A : B : C : D)).
       Множество всех плоскостей (A : B : C : D), получающихся по формулам (10.4.5), называется связкой плоскостей,определенной плоскостями (10.4.4).
       Каждая связка является множеством всех плоскостей, либо проходящих через данную точку, либо параллельных данной прямой.
        В первом случае связка плоскостей называется собственной, а во втором - несобственной. Точка, через которую проходят плоскости собственной связки, называется ее центром.

    Утверждение. Множество плокостей тогда и только тогда является связкой, когда принадлежащие ему плоскости (A : B : C : D) характеризуются соотношением вида
AX + BY + CZ + DT = 0.               (10.4.6)
Коэффициенты X, Y, Z, T этого уравнения называются однородными аффинными координатами данной точки в рассматриваемой аффинной координатной системе Оe₁e₂e₃.