Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
1.2 Операции над векторами.

    Сложение векторов.Сумма векторов а и b определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть В - конец этого вектора, т.е. а = . Затем отложим вектор b от точки В, пусть b = . Суммой а + b векторов а и b называется вектор, порожденный направленным отрезком (рис.1)
.
    Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + b для неколлиниарных векторов а и b может быть получен (рис.2) как диоганаль параллелограмма, построенного на векторах а и b. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

    Теорема 2.1. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
  1) а + b = b + а, ∀ а, b (свойство коммутативности);
  2) (а + b) + с = а + (b + с), ∀ а, b, с (свойство ассоциативности);
  3) существует такой вектор 0, называемый нулевым вектором, что
а + 0 = 0 + а = а, ∀ а (свойство существования нейтрального элемента);
  4) для любого вектора а существует такой вектор - а (называемый противоположным к вектору a), что а + (- а) = 0 (свойство существования симметричного элемента).

    Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения в случае неколлиниарных векторов а, b и с проверяется непосредственным построением (рис.3) векторов левой и правой частей соответствующих равенств.

     Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором 0 будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным к вектору   а = будет вектор
-а = .Теорема доказана.

Разностьювекторов b и а называется вектор x такой, что а + x = b. Обозначение: b - а.

    Теорема 2.2. Для любых векторов а и b существует, и притом единственная, разность b - а.

    Доказательство. В качестве разности b - а можно взять вектор b + (- а), так как а + (b + (- а)) = а + ((-а) + b) = (а + (-а)) + b = 0 + b = b. Эта разность единственная, так как если с − еще одна разность, то с = с + 0 = (с + а) + (-а) = b + (-а).
Теорема доказана.

    Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлиниарных векторов а и b позволяет построить и разность b - а как другую диагональ параллелограмма (рис.4).




    Умножение вектора на число.
Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:
   1) |b| = |α|•|а| и, в случае b ≠ 0,
   2) b ↑↑ а, если α > 0, и b ↑↓ а, если α < 0.

  Обозначение: b = αа. Очевидно, что 0•а = α•0 = 0.

    Теорема 2.3. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: для любых векторов а, b и чисел α, β ∈ R
  1) 1• а = а;
  2) (αβ)a = α(βа );
  3) (α + β)а = αа + βа (свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел);
  4) α(а + b) =αа + αb (свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения векторов).

    Доказательство. Свойство 1 очевидно. Свойства 2 и 3 проверяются перебором различных вариантов знаков и абсолютных значений чисел α и β. Свойство 4 вытекает из подобия треугольников (рис.5). Здесь следует отдельно рассмотреть случай, когда векторы а и b коллиниарны. Теорема доказана.

Содержание
Предыдущая
Следующая

© www.Bodrenko.org: Irina I. Bodrenko. All rights reserved. 2009
© www.Bodrenko.org: Бодренко Ирина Ивановна. Все права защищены. 2009