Геометрические векторы. Векторы.Основные понятия. Операции над векторами. Введение в теорию линейных пространств. Вещественное линейные пространство. Линейная зависимость. Геометрический смысл линейный зависимости. Векторная алгебра. Координаты вектора. Координаты точки.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

 Аналитическая геометрия Bodrenko.com
Bodrenko.org
1.1 Векторы.Основные понятия.

    Направленные отрезки.Упорядоченная пара точек (А,В) называется напрвленным отрезком с началом в точке А и концом в точке В. Обозначается:

Направленный отрезок изображается стрелкой, идущей из его начала в его конец (рис.1).Направленный отрезок называют также связанным вектором, а точку А - точкой его приложения.Если точки А и В различны, то напрвленный отрезок называется ненулевым; если же точки А и В совпадают, то направленный отрезок , точнее, называется нулевым и обозначается символом θA.

    Напрвленный отрезок называется параллельным прямой l (плоскости Р), если либо он нулевой , либо прямая АВ параллельна прямой l (соответственно плоскости Р).

  Обозначение: , .

    Длиной напрвленного отрезка называется длина отрезка [АВ].

  Обозначение: . Как следует из определения, длина нулевого и только нулевого направленного отрезка равнв нулю.

    Ненулевые напрвленные отрезки и называются одинаково направленными (сонапрвленными), если лучи [АВ) и [СD) имеют одинаковые напрвления, и противоположно напрвленными, если лучи [АВ) и [СD) имеют противоположные напрвления.

  Обозначение: ↑↑ и ↑↓ соответсвенно.

    Направленнные отрезки и называются равными, если середины отрезков [АD] и [ВС] совпадают (рис.2)

  Обозначение: = . Как следует из определения, нулевой напрвленный отрезок равен любому другому нулевому и только нулевому напрвленному отрезку.

    Из свойств параллелограмма (рис.2) следует, что ненулевые направленные отрезки и , не лежащие на одной прямой, равны тогда и только тогда, когда четырехугольник АВDС - параллелограмм. Для равных ненулевых отрезков, лежащих на одной прямой, возможен один из четырех вариантов расположения, изображенных на рис.2.

                                                                 а) [АВ] ∩ [СD] =           б) [АВ] ∩ [СD] ≠

    Теорема 1.1. Напрвленные отрезки и равны тогда и только тогда, когда они имеют:

  1) Одинаковую длину: = и, в случае ≠ 0,

  2) одинаковое направление: ↑↑ .

  Утверждение теоремы вытекает непосредственно из определения равенства направленных отрезков и свойств параллелограмма. Теорема доказана.

    Теорема 1.2. Для любого напрвленного отрезка и любой точки С существует, и притом единственная, точка D такая, что = .

    Доказательство. Пусть (рис.3) точка О - середина [ВС]. Из определения равенства напрвленных отрезков следует, что точка D - точка на прямой АО, симметричная точке А относительно точки О. Такая точка определена однозначно. Теорема доказана.

    Замечание.Теорему 1.2 формулируют и в других терминах: направленный отрезок можно отложить от любой точки или направленный отрезок можно перенести в любую точку.

    Теорема 1.3. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности на множестве всех направленных отрезков.

  В самом деле, отношение равенства направленных отрезков является бинарным отношением, которое обладает свойствами:
  а) рефлексивности (направленный отрезок равен самому себе);
  б) симметричности, так как справедливы импликации
= ⇒ = , ↑↑ ⇒ ↑↑ ;
  в) транзитивности, так как равенство длин (т.е. чисел) и сонаправленность направленных отрезков (т.е. лучей) обладают свойством транзитивности.
Теорема доказана.

    Прямая l с заданным на ней направлением называется осью. Величиной направленного отрезка на оси l называется число

            (1.1.1)

    Из определения вытекают следующие факты:

    Лемма Шаля. При любом расположении точек А, В и С на прямой имеет место равенство

= + .

    Доказательство. Если какие - либо две точки совпадают (например, А = В), то утверждение очевидно, так как = + . Пусть А, В, С - различные точки. Тогда возможны только три варианта расположения этих точек:
  1) точка С между точками А и В (рис.4);

  2) точка А между точками В и С;
  3) точка В между точками А и С.

В первом случае, как видно из рис.4, = + и ↑↑ ↑↑ , откуда следует, что    = + . Отсюда во втором случае имеем = + или = + . Третий случай рассматривается аналогично второму. Лемма доказана.