Дифференциальные и разностные уравнения

 

Лекция 4

Тема лекции: «Разностные (рекуррентные) уравнения второго  порядка»

1.      Линейные разностные уравнения k-го порядка.

2.      Линейные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

3.      Модели экономической динамики с дискретным временем.

 

1. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ k-ГО ПОРЯДКА. 

 

1.1.    Определение разностного уравнения k-го порядка.

1.1.

Теория разностных уравнений находит многообразные  приложения во многих областях естествознания при  моделировании поведения систем различной природы. Разностные  уравнения обычно возникают тогда, когда рассматриваемая величина регистрируется через некоторые (как правило, равные)  промежутки времени.

 

Например, так называемая паутинообразная модель рынка одного товара описывается разностным  уравнением вида

P_t+1 = a P_t + b,        (*)         

 

где P_t — цена товара в период t, a и b — некоторые числа.

 

Уравнение  (*)  представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

 

В задачах описания, анализа и синтеза дискретных  динамических систем управления математические модели таких  систем описываются разнообразными разностными уравнениями.

В современной теории нелинейных колебаний разностные уравнения появляются либо самостоятельно, либо при переходе от дифференциальных уравнений к точечным отображениям Пуанкаре. Такой переход в трехмерном случае значительно упрощает исследование.

В математике основным источником разностных уравнений являются дифференциальные уравнения. Имеются в виду разностные схемы, используемые для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Многие факты теории линейных дифференциальных  уравнений верны и для линейных разностных уравнений, хотя есть и некоторые различия. Отличие разностных уравнений от дифференциальных уравнений проявляется в наибольшей  степени, когда уравнения нелинейны. Например, поведение  решений одномерных разностных уравнений может быть таким же сложным, как и поведение решений многомерных разностных уравнений. Для динамических систем, описываемых  дифференциальными уравнениями, сложное поведение имеется лишь в пространствах большой размерности (n > 3).

Приведем простейшие примеры разностных уравнений.

 

ПРИМЕР 1.

 

Разностное уравнение второго порядка

2 y_{n + 1} = y_n + y_{n + 2}

 

определяет  признак арифметической прогрессии. Его решением является последовательность с общим членом

y_n = a₁ + d (n −1) ,

 

где a₁  - первый член арифметической прогрессии, и d – разность арифметической прогрессии.

 

ПРИМЕР 2.  

 

Разностное уравнение

(y_n+1)² = y_{n ∙} y_n+2

определяет признак геометрической прогрессии, и его решением является последовательность с общим членом

y _n = b₁ qⁿ⁻¹ ,

 

где b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии.

 

Определение 1.

 

Уравнение вида:

F ( n , y_n , y_n+1 ,..., y_n+k ) = 0,   (1)   

где k − фиксированное, а n − произвольное натуральное число, y_n , y_n+1 ,..., y_n+k – члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением k-го порядка.

 

Решить разностное уравнение означает найти его общее решение, т.е. все последовательности y_n = y(n) , удовлетворяющие уравнению (1).

Разностные уравнения используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Между теориями разностных и дифференциальных уравнений прослеживается определенная аналогия. Если в уравнении (1) произвести формальную замену:

n → x , y_n → y(x) , y_{n + 1} → y '(x) , … , y_n+k → y^(k)(x) ,   (2)    

 

то определение разностного уравнения преобразуется в общее определение обыкновенного дифференциального уравнения порядка k.

 

Проведя формальную замену (2), нетрудно получить нормальную форму записи  разностного уравнения:

y_n+k = f ( n , y _n , y _n+1 ,..., y _{n+k –1} ).  (3)  

Аналогичным образом определяется и задача Коши – как задача нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего начальным условиям:

y(n₀) = a₀ , y(n₀+1) = a₁ , . . .  , y(n₀+k−1) = a_k−1 .     (4)

 

Ниже будет показано, что решения соответствующих классов дифференциальных и разностных уравнений (например, линейных) осуществляется схожими методами.

Имеет место

Теорема 1. Решение y_n = y(n) задачи Коши (3), (4) при n ≥ n₀  определено однозначно.

Доказательство. Подставляя значения для y(n₀) , y(n₀+1) , ... , y (n₀+ k−1) из (4) в (3), мы находим y(n₀+k) . Это, в свою очередь, дает нам возможность определить y(n₀+k+1) .

Продолжая этот процесс, можно рекуррентным способом по формуле (3) найти любое значение y(n) при n ≥ n₀ . Теорема доказана.

Следует, однако, заметить, что нахождения общего решения разностного уравнения в отличие от задачи Коши является гораздо более сложной задачей.

1. 2.  Линейные разностные уравнения k-го порядка.

 

 Определение 2. Разностное уравнение вида

a_k(n) y_n+k + ... + a₁(n) y_n+1 + a₀(n) y_n = f(n),        (5)   

где a₀ ,a₁ ,..., a_k , f − некоторые функции от n (a₀ ≠ 0, a_k ≠ 0), называется линейным разностным уравнением k-го порядка.

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ.

 

Условие a₀ ≠ 0 для всех n  является  существенным в определении линейного разностного уравнения первого порядка. Например, линейное разностное уравнение вида

y_к+1 = f_k

не считается уравнением первого порядка, поскольку замена к+1 = m дает уравнение

y_m = f_m-1,

 

которое условно можно назвать разностным уравнением  нулевого порядка.

 

Введем следующее обозначение:

L (y) = a_k y_n+k + ... + a₁ y_n+1 + a₀ y_n .    (6)   

Это выражение называется линейным разностным оператором k-го порядка .

С учетом этих обозначений уравнение (6) может быть записано в виде:

L(y) = f(n).       (7)   

Уравнение

L (y) = 0             (8)    

называется линейным однородным разностным уравнением, соответствующим уравнению (7). Само же уравнение (7)  (при f(n) ≠ 0) называется неоднородным .

 

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 2 (об общем решении линейного неоднородного уравнения).

 

Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения (7) есть сумма частного решения  ȳ(n) этого уравнения и общего решения y₀(n) соответствующего ему однородного уравнения (8).

Теорема 3 (об общем решении линейного однородного уравнения).

 

Пусть у⁽¹⁾(n), ..., у^(k) (n) – система, состоящая из k линейно независимых решений линейного однородного разностного уравнения (8), тогда общее решение этого уравнения задается формулой:

y₀(n) = С₁ у⁽¹⁾(n) + ... + С_k у^(k)(n).     (9)      

 

Множество решений линейного однородного разностного уравнения k-го порядка образует k- мерное линейное пространство, а любой набор у⁽¹⁾(n), ..., у^(k)(n) из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом.

 

Признаком линейной независимости решений у⁽¹⁾ (n), ..., у ^(k) (n) однородного уравнения является неравенство нулю определителя Казорати:

∆ = det     ,      (10)     

 

 

который является аналогом определителя Вронского в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

1.3. Линейные однородные разностные уравнения с постоянными коэффициентами k-го порядка.

 

В случае, когда коэффициенты a₀ , a₁ ,..., a_k являются постоянными, методы решения линейного однородного разностного уравнения

a _k y_{n +k} + ... + a₁ y_n+1 + a₀ y_n = 0   (11)     

 

во многом аналогичны методам решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

Действительно, будем искать решения уравнения в  виде:

y_n = λⁿ ,      (12)      

где λ ≠ 0 – некоторая постоянная. Подставляя выражение для y_n из (12) в (11), находим:

a_k λ^{n +k} + a_{k −1} λ^{n +k−1} + … + a₁ λ^{n +1} + a₀ λⁿ = 0 .

 

Разделим обе части этого уравнения на λⁿ , получим:

a_k λ^k + a_k−1 λ^k−1 + … + a₁ λ + a₀ = 0 .       (13)    

Уравнение (13)  называется характеристическим уравнением однородного линейного разностного уравнения.

 

Так же, как и в случае линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, знание корней характеристического уравнения, позволяет построить общее решение однородного разностного уравнения.

 

2.      ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

     С  ПОСТОЯННЫМИ   КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

 

Рассмотрим линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

 

ay_n+2 + by_n+1 + cy_n = 0 ,    a ≠ 0 ,      c ≠ 0 .   (14)       

 

Построим решения этого уравнения в зависимости от значения  D = b² − 4ac. Однако заметим, что полученные в этом случае результаты могут быть без труда перенесены на случай уравнений более высокого порядка.

 

В зависимости от значения дискриминанта

D = b² − 4ac

характеристического уравнения

 

aλ² + b λ + c = 0        (15)      

возможны следующие случаи.

Случай 1. D > 0 .

 

 

Характеристическое уравнение (15)  имеет два действительных и различных корня – λ₁ и λ₂ . Тогда λ₁ ≠ 0 и λ₂ ≠ 0 . Действительно, если хотя бы один корень равен нулю, то коэффициент приведенного квадратного уравнения (15`) c/a  = λ₁ λ₂ также будет равен нулю, что противоречит определению линейного разностного уравнения второго порядка.

 

Корням λ₁ и λ₂ характеристического уравнения соответствуют два решения:

y⁽¹⁾ _n = λ₁ⁿ , y⁽²⁾_n  = λ₂ⁿ

 

уравнения (14).

 

Покажем, что эти решения линейно независимы. Для этого вычислим определитель Казорати

∆ = det

 

 

В данном случае получим

 

 

 

Так как корни λ₁ и λ₂ различны, то λ₂ − λ₁ ≠ 0 , следовательно, ∆ ≠ 0 , а значит, решения линейно независимы.

 

В этом случае общее решение уравнения имеет вид:

y(n) = С₁ λ₁ⁿ + С₂ λ₂ⁿ ,  (16)       

где C₁ , C₂ – произвольные постоянные.

 

ПРИМЕР 3.

 

Решить уравнение:

y_n+2 + 4y_n+1 − 5y_n = 0 .

Решение примера 3.

 

Составим характеристическое уравнение, имеем:

λ ² + 4 λ − 5 = 0 .

Оно имеет два действительных различных корня: λ₁ = 1 , λ₂ = − 5 . Поэтому общее решение исходного уравнения в силу формулы (16)  имеет вид:

y _n = C₁ + C₂ (−5)ⁿ .

 

 

ПРИМЕР 4.

 

Решить уравнение:

y_n+2  –  5y_n+1 + 6y_n = 0 .

Решение примера 4.

 

Составим характеристическое уравнение, имеем:

λ ²  – 5 λ +6 = 0 .

Оно имеет два действительных различных корня: λ₁ = 3 , λ₂ = 2 . Поэтому общее решение исходного уравнения в силу формулы (16)  имеет вид:

y_n = C₁ 3ⁿ + C₂ 2ⁿ .

 

Случай 2. D < 0 .

 

Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня: λ₁ и λ₂ ,

λ₁ = α + iβ  ,  λ₂  = α –  iβ,

которые, используя тригонометрическую форму записи, могут быть представлены следующим образом:

λ₁ = r (cos φ + i sin φ) , λ₂ = r (cos φ − i sin φ) ,

где r – модуль λ₁ , а φ – его аргумент:

 

r = (α² + β²)^1/2  ,    tg(φ) = β/α .

 

 

Соответствующие решения разностного уравнения также комплексно сопряжены и на основании формулы Муавра имеют вид:

y⁽¹⁾_n  = rⁿ (cos nφ + i sin nφ ) , y⁽²⁾_n  = rⁿ (cos nφ − i sin nφ) .

Чтобы получить действительные решения, заменим y n ( 1 ) и y n ( 2 ) их линейными комбинациями:

z_n⁽¹⁾  =  (y_n⁽¹⁾  + y_n⁽²⁾ )/2,               z⁽²⁾_n  = (y_n⁽¹⁾  –  y_n⁽²⁾)/2i

 

Таким образом, мы получили два линейно независимых действительных решения:

z⁽¹⁾_n   = rⁿ cos(nφ) ,               z⁽²⁾_n  = rⁿ sin(nφ) .

Таким образом, в данном случае общее решение имеет вид:

y(n) = rⁿ ( C₁ cos (nφ )+ C₂ sin (nφ)  ) .             (17)

 

 

ПРИМЕР 5.

 

Решить уравнение:

y_n+2 − 2y_n+1 + 4y_n = 0 .

Решение примера 5.

 

Характеристическое уравнение

 

λ ² − 2λ + 4 = 0

имеет два комплексно сопряженных корня –

 

λ₁ = 1 + √3i и λ₂ = 1 − √3i ,

 

которые могут быть записаны как:

 

λ₁ = 2 (cos (π/3) + i sin(π/3)),       λ₂ = 2 (cos (π/3) –  i sin(π/3))

 

Следовательно, общим решением исходного уравнения в силу формулы (17)  будет:

y_n = 2ⁿ (C₁ cos(nπ/3) + C₂ sin(nπ/3)).

 

 

Случай 3.  D = 0 .

 

Оба корня характеристического уравнения действительны и равны ( λ₁ = λ₂ = λ ) .

 

Покажем, что в этом случае кроме решения

y_n⁽¹⁾  = λⁿ ,

существует еще одно решение, линейно независимое с y_n⁽¹⁾  .

 

Действительно, нетрудно убедится, что таковым является:

y_n⁽²⁾ = nλⁿ .

Сначала докажем, что y_n⁽²⁾ является решением уравнения (14).

 

В самом деле, подставляя выражение для y_n⁽²⁾ в уравнение (14) , получим:

a(n+2) λⁿ⁺² + b(n+1) λⁿ⁺¹ + cnλⁿ = λⁿ (a (n+2) λ² + b(n+1) λ + cn)  =

 

= λⁿ (n (a λ² + b λ + c) + 2a λ² + b λ)  = 0

 

Последнее равенство получим  в силу того, что aλ² + bλ + c = 0 и λ = − b/2a.

 

Вычислим теперь определитель Казорати,  мы имеем:

 

так как λ ≠ 0 . Следовательно, частные решения y_n⁽¹⁾ и y_n⁽²⁾ линейно независимы, и общее решение уравнения (147) имеет вид:

y(n) = λⁿ (C₁  +  n C ₂) .               (18)

 

 

ПРИМЕР 6.

 

Решить уравнение:

y_n+2 + 6 y_n+1 + 9y_n = 0 .

Решение примера 6.

 

Характеристическое уравнение

λ² + 6 λ + 9 = 0

имеет единственный действительный корень

λ = − 3 . Следовательно, общее решение исходного уравнения таково:

y _n = (−3)ⁿ (C₁ + n C₂) .

 

Для нахождения решения неоднородного линейного разностного уравнения, так же как и в случае линейных дифференциальных уравнений, используется метод неопределенных коэффициентов, основанный на подборе частного решения неоднородного уравнения по виду правой части f(n) .

Проиллюстрируем нахождение решения неоднородного линейного разностного уравнения на примерах.

 

ПРИМЕР 7.

 

Решить уравнение:

y_n+2 + 2y_n+1 − 3y_n = 64 ∙ 5ⁿ .       (19)

 

Решение примера 7.

 

Будем искать частное решение в виде:

y*(n) = p5ⁿ .

Подставляя это выражение в наше уравнение (19), получим:

p (25 + 10 – 3)5ⁿ = 64 ∙5ⁿ .

Следовательно, p = 2, а значит,    y*(n) = 2 ∙ 5ⁿ .

 

Решая характеристическое уравнение

λ ² +2λ − 3 = 0,

находим    λ₁ = 1, λ₂ = −3.

 

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

 

y₀(n) = С₁ + С₂(−3)ⁿ   .

Таким образом, общее решение  неоднородного уравнения (19)  имеет вид:

y_n = 2 ∙ 5ⁿ + С₁ + С₂(−3)ⁿ .

 

ПРИМЕР 8.

Решить уравнение

y(n+2) – 7y(n+1) + 10y(n) = 4 ∙6ⁿ .     (20)

 

Решение примера 8.

 

Для нахождения общего решения соответствующего однородного уравнения составим характеристическое уравнение:

λ ²  – 7λ + 10 = 0,

λ₁ = 5, λ₂ = 2.

 

Следовательно,

Y₀(n) = С₁ 5ⁿ + С ₂ 2ⁿ

 

Для нахождения частного решения  y*(n) исходного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем искать

y* (n)  в виде

y*(n) = p6ⁿ .

 

 Подставляя это выражение в данное уравнение (20), получим:

p6ⁿ⁺²  –7 p6ⁿ⁺¹ + 10 p6ⁿ  = 4 ∙6ⁿ.

p 6ⁿ (36 – 42 +10) = 4 ∙6ⁿ.

Следовательно, p = 1, а значит, частное решение уравнения (20) имеет вид:

 

y*(n) = 6ⁿ .

 

 

Складывая общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения (20), получаем общее решение уравнения:

y (n) = 6ⁿ + С₁ 5ⁿ + С₂ 2ⁿ .

 

 

3.   МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

3.1.  Модель делового цикла Самуэльсона–Хикса

Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение разностных уравнений второго порядка.  Для этого мы рассмотрим модель делового цикла Самуэльсона – Хикса (динамический вариант модели Кейнса). Эта модель основывается на принципе акселерации, то есть на предположении, что объемы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением:

I(t) = V(Y(t−1) − Y(t−2)) ,      (21)  

где коэффициент V > 0 − фактор акселерации, I (t) – величина инвестиций в период t, Y (t−1) , Y (t−2) – величины национального дохода соответственно в (t−1) -м и (t−2) -м периодах.

Предполагается также, что спрос на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, то есть:

C(t) = aY(t−1) + b .         (22)      

Условие равенства спроса и предложения имеет вид:

Y(t) = I(t) + C(t) .      (23)    

Подставляя в (23) выражение для I (t) из (21) и выражение для C(t) из (22), находим:

Y(t) = (a+V)Y(t−1) − VY(t−2) + b .        (24)

 

Уравнение (24) известно, как уравнение Хикса.

 

Если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и V постоянны, то уравнение Хикса представляет собой неоднородное линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

 

Мы можем легко найти частное решение уравнения (24), если положим, что:

Y (t) = Y(t−1) = Y(t−2) = Y* ,  (25)    

т.е. использовав в качестве частного решения равновесное решение Y* = const .

 

Из (24) в силу (25) имеем:

Y* = (a+V)Y* − VY* + b ,

откуда:

Y* = b(1−a)⁻¹ .                  (26)         

 

Выражение (1−a)⁻¹ в формуле (26) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.

 

ПРИМЕР 9.

 

Рассмотреть модель Самуэльсона–Хикса при условии, что

 

a = 0,5 ; V = 0,5; b = 4 .

 

Найти общее решение уравнения Хикса.

 

Решение примера 9.

 

В этом случае уравнение (24) принимает вид:

Y(t) − Y(t−1) + 0,5 Y(t−2)  = 4 .

Его частным решением (в силу формулы (26)) будет:

Y* (t) = b/(1-a) = 4/(1 - 0,5) = 8.

Найдем корни характеристического уравнения

λ² − λ + 0,5 = 0 .

 

Имеем:

λ_1,2 = (1 ± i)/2 = (1/√2) (cos (π/4) ± i sin (π/4)) .

Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является:

Ŷ₀(t) = (1/√2)^t (С₁ cos(tπ/4) + С₂ sin(tπ/4)) .

Следовательно, общим решением уравнения будет:

Y (t) = 8  + (1/√2)^t (С₁ cos(tπ/4) +  С₂ sin(tπ/4) .

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

 

В зависимости от значений а и V возможны четыре типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный характер с возрастающей амплитудой.

 

ПРИМЕР 10.

 

Рассмотреть модель Самуэльсона – Хикса при условии, что

 

a = 0,48,  V = 0,72,       b = 1,3.

 

Найти общее решение уравнения Хикса.

Решение примера 10.

 

В данном случае уравнение (24) имеет вид

Y(t) – 1,2Y (t−1) + 0,72 Y(t−2)  = 1,3 .

 

Его частным решением (в силу формулы (26)) будет:

y* (t) = b/(1-a) = 1,3/(1 - 0,48) = 2,5.

Напишем характеристическое уравнение:

λ² – 1,2 λ + 0,72 = 0 .

 

Его корни

 

λ_1,2 = 0,6 ± 0,6i =  0,6 √2 (cos (π/4) ± i sin (π/4)).

Общее решение соответствующего однородного уравнения есть

Ŷ₀(t) = (0,6√ 2)^t ( С₁ cos (t π/4) +  С₂ sin (t π/4) ).

Получаем общее решение данного уравнения:

Y(t) = 2,5 + (0,6√ 2)^t ( С₁ cos (t π/4) +  С₂ sin (t π/4) ).

 

ЗАМЕЧАНИЕ 3.

 

В рассмотренном примере динамика носит колебательный характер с затухающей амплитудой. Очевидно, при комплексных сопряженных корнях характеристического уравнения, по модулю превышающих единицу, динамика была бы растущей. Вообще,

в зависимости от значений a и V динамика может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

[1] Васенкова Е.К.,  Волкова Е.С, Шандра Е.Г. Математика для экономистов. Дифференциальные и разностные уравнения: Курс лекций. М.: Финансовая академия, 2003. 116 с. 

 

 [2] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).

[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П.  Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

 

[4] Ласунский А.В. Разностные уравнения: Конспект лекций. ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011.– 62с.

 

[5] Романко В.К.  Разностные уравнения. Учебное пособие. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 112 с.