Bodrenko.com Bodrenko.org

Упражнения

§ 2.7 Компактность Назад
  1. Пусть Q - множество рациональных точек на числовой прямой R1 со стандартной топологией. Докажите, что множество Q не компактно.
  2. Пусть А - подмножество компактного пространства X. Докажите, что А компактно тогда и только тогда, когда А замкнуто в X.
  3. Докажите, что если А и В - непересекающиеся компактные подмножества хаусдорфова пространства X, то у них найдутся непересекающиеся окрестности.
  4. Пусть f: X Y - непрерывное отображение и его образ совпадает с Y. Докажите, что если X компактно, то Y тоже компактно.
  5. Доказать, что если X - связное компактное пространство, а f: X R1 - непрерывное отображение, то образом f является отрезок.