Bodrenko.com Bodrenko.org

Упражнения

§ 2.4 Связность Назад // Вперед
  1. Пусть А - связное множество топологического пространства X. Исследовать связность внутренности Int А и границы А.
  2. Приведите пример связного множества А, внутренность которого Int А несвязна, а граница А связна.
  3. Докажите, что множество Q всех рациональных чисел несвязно на числовой прямой R1 со стандартной топологией. Докажите, что множество R1\Q всех иррациональных чисел несвязно.
  4. Докажите, что если в топологическом пространстве X существует всюду плотное связное подмножество А, то X само связно.
  5. Пусть А, В - подмножества топологического пространства X, причем, А В . Докажите, что если А связно, то и В связно.
  6. Пусть А, В - связные подмножества топологического пространства X, причем А . Докажите, что А В связно.
  7. Приведите пример несвязного множества, замыкание которого связно.
  8. Пусть А, В - подмножества топологического пространства X. Верно ли, что если множества А В и А В связны, то А и В тоже связны? Приведите примеры.
  9. Пусть f: X Y - непрерывное отображение и его образ совпадает с Y. Докажите, что если X связно, то Y тоже связно.