|
-
Пусть А - связное множество топологического пространства X. Исследовать связность внутренности Int А и границы А.
- Приведите пример связного множества А, внутренность которого Int А несвязна, а граница А связна.
- Докажите, что множество Q всех рациональных чисел несвязно на числовой прямой R1 со стандартной топологией. Докажите, что
множество R1\Q всех иррациональных чисел несвязно.
- Докажите, что если в топологическом пространстве X существует
всюду плотное связное подмножество А, то X само связно.
- Пусть А, В - подмножества топологического пространства X, причем,
А В . Докажите, что если А связно, то и В связно.
- Пусть А, В - связные подмножества топологического пространства X, причем
А . Докажите, что А В связно.
- Приведите пример несвязного множества, замыкание которого связно.
- Пусть А, В - подмножества топологического пространства X. Верно ли, что если множества
А В и А В связны, то А и В тоже связны? Приведите примеры.
- Пусть f: X Y - непрерывное отображение и его образ совпадает с Y. Докажите, что если X связно, то Y тоже связно.
|
|
|