Bodrenko.com Bodrenko.org

Упражнения

§ 1.6 Замыкание множества Назад // Вперед
  1. Пусть X - числовая прямая R1 со стандартной топологией, Z -множество всех целых чисел. Докажите, что Z замкнуто в X.
  2. Покажите, что множество A = не открыто и не открыто и не замкнуто на числовой прямой R1 со стандартной топологией.
  3. Покажите, что множество Q всех рациональных чисел не открыто и не замкнуто на числовой прямой R1 со стандартной топологией. Докажите, что множество R1\Q всех иррациональных чисел не открыто и не замкнуто на R1.
  4. Пусть G - открытое, а А - произвольное подмножества топологического пространства X. Докажите, что если G А = , то G = .
  5. Приведите пример метрического топологического пространства (М,), в котором замыкание открытого шара B1(a) не совпадает с замкнутым шаром D1(a).
  6. Докажите, что если А В, то .
  7. Докажите, что .
  8. Докажите, что .
  9. Докажите, что . Приведите примеры множеств, для которых не выполняется включение .