Bodrenko.com Bodrenko.org

Упражнения

§ 1.1 Топология на множестве Назад // Вперед
  1. Постройте все топологии на множестве X, состоящем из трех точек.
  2. Пусть X - пространство с топологией конечных дополнений, x X - произвольная точка. Докажите, что пересечение всех открытых в X множеств, содержащих точку х, совпадает с {х}.
  3. Пусть X - бесконечное множество, снабженное топологией Зарисского, А - бесконечное подмножество X. Докажите, что А пересекается с каждым открытым в X множеством.
  4. Пусть X - произвольное несчетное множество. Совокупность Ω состоит из пустого множества и всех тех подмножеств X, дополнения которых - не более чем счетные множества. Докажите, что Ω является топологией на X.
  5. Пусть X - числовая прямая R1. Совокупность подмножеств Ω состоит из , X и всевозможных бесконечных интервалов вида (-∞, а), где a R1. Покажите, что Ω - топология на X.
  6. Пусть X - множество натуральных чисел N. Совокупность Ω состоит из и семейства подмножеств , где Un={n,n+1,n+2,...}. Проверьте, что Ω является топологией на X.
  7. Пусть X - числовая прямая R1. Совокупность подмножеств S состоит из , X и всевозможных бесконечных промежутков вида (-∞, а], где a R1. Докажите, что S не является топологией на X.
  8. Пусть X содержит более двух точек. Покажите, что объединение двух топологий на X может не быть топологией на X.