Топология. Локальная аппроксимация риманова многообразия евклидовым. Риманово многообразие. Локально риманово пpостранство. Область. Евклидово пространство. Гладкий путь. Касательные векторы. Метрика. Квадратичная форма. Бесконечно малые порядка выше первого. Углы между путями. Окрестность точки. Диаметр окрестности

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии



 Дифференциальная геометрия и топология Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.8 Локальная аппроксимация риманова многообразия евклидовым Назад

   Пусть (Wn, g) — риманово многообразие и точка а ∈ Wn. Евклидово пространство Та(Wn, g) локально аппроксимирует (Wn, g) в точке а с точностью до бесконечно малых порядка выше первого относительно диаметра окрестности U точки а. Действительно, пусть U гомеоморфна области в Rn. Определим в каждом Tb(Wn), где b — любая точка из U, квадратичную форму ĝ(b, ξb) = g(a, ξa). Тогда получим риманово многообразие (U, g), которое является областью в евклидовом пространстве. Очевидно, что длины соответствующих гладких путей и углы между ними (т. е. углы между соответствующими касательными векторами) в многообразиях (Wn, g) и (U, ĝ), в силу непрерывности метрики, отличаются на бесконечно малые порядка выше первого, причем в точке а углы между соответствующими путями равны.

   Таким образом, можно сказать, что локально риманово пpостранство с точностью до бесконечно малых порядка выше первого является евклидовым пространством.