Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.8 Локальная аппроксимация риманова многообразия евклидовым Назад

   Пусть (Wn, g) — риманово многообразие и точка а ∈ Wn. Евклидово пространство Та(Wn, g) локально аппроксимирует (Wn, g) в точке а с точностью до бесконечно малых порядка выше первого относительно диаметра окрестности U точки а. Действительно, пусть U гомеоморфна области в Rn. Определим в каждом Tb(Wn), где b — любая точка из U, квадратичную формул ĝ(b, ξb) = g(a, ξa). Тогда получим риманово многообразие (U, g), которое является областью в евклидовом пространстве. Очевидно, что длины соответствующих гладких путей и углы между ними (т. е. углы между соответствующими касательными векторами) в многообразиях (Wn, g) и (U, ĝ), в силу непрерывности метрики, отличаются на бесконечно малые порядка выше первого, причем в точке а углы между соответствующими путями равны.

   Таким образом, можно сказать, что локально риманово пpостранство с точностью до бесконечно малых порядка выше первого является евклидовым пространством.