|
Говорят, что на С∞-многообразии Wn
задана риманова метрика класса С∞, если определено
С∞-отображение g: T(Wn) → R1, которое в каждом слое Та(Wn)
(касательном пространстве многообразия Wn в точке а,) является положительно определенной квадратичной формой.
Если в соответствующей окрестности U каждой точки а ∈ Wn
ввести в рассмотрение базисы e1(a), ..., еn(a), определенные выше,
то каждый вектор ξa ∈ Та(Wn) относительно этого базиса будет
иметь координаты ξ1, ..., ξn- Риманова метрика g в этих координатах имеет вид
 (3.6)
где gij(a) = gji(a) ∈ C∞(U) и форма (3.6) положительно определенная.
С∞-многообразие Wn называется римановым многообразием
класса С∞, если на Wn определена риманова метрика g класса С∞.
Оно обозначается (Wn, g).
В случае, когда мы имеем дело с Сr-многообразием Wn, из
определения видно, что на Wn можно рассматривать метрику класса
Сl, где l ≤ r-1. (Это соответствует тому, что функции gij(a) ∈ Cl(U).)
Часто риманово многообразие определяется заданием
положительно определенной квадратичной формы (3.6) в некотором атласе.
В том числе, когда рассмотрения ведутся только в одной карте
(U, φ), удобно считать U областью в евклидовом пространстве с
декартовыми координатами u1, u2, ..., un. В этом случае координаты
касательных векторов обозначают часто через du1, du2, ..., dun и
форма (3.6) принимает при этом вид
Если на гладком многообразии Wn определена риманова метрика,
то говорят, что на Wn определена риманова структура,.
Оказывается, что на всяком гладком многообразии можно задать
риманову метрику. Именно, имеет место следующая
Теорема 12 (X. Уитни). На всяком гладком многообразии
класса Сl(С∞) может быть задана риманова метрика класса
Сl-1(С∞).
В касательном пространстве TaWn любой точки а риманова
многообразия (Wn, g) квадратичная форма (3.6) определяет симметричную билинейную форму
 (3.7)
которая превращает TaWn в евклидово пространство.
Риманово многообразие (Wn, g) является метрическим
пространством, метрика которого порождается скалярным произведением (3.7).
Действительно, назовем длиной гладкого пути l: [α, β] → Wn величину
где ξ(t) является касательным вектором к пути l в точке l(t). Если
l лежит целиком в одной локальной карте с локальными
координатами x1, ..., xn, то, очевидно,
Расстоянием между двумя точками а и b связного риманова
многообразия (Wn, g) называется точная нижняя граница длин
гладких путей в Wn с концами в точках а и b. Поскольку любые
две точки в Wn можно соединить гладким путем, то расстояние
между ними конечно. Можно доказать, что расстояние
удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства. Предоставляем это
читателю в качестве полезного упражнения. Введенная выше
метрика в (Wn, g) также называется римановой.
|