Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.6 Касательное расслоение гладкого многообразия Назад // Вперед

   Пусть дано Сr-многообразие Wn. Рассмотрим множество

.

Тогда возникает естественное отображение p: Т(Wn) → Wn, переводящее вектор х ∈ Та(Wn) в точку а ∈ Wn, т. е. р-1(а) = Та(Wn). Отображение р называют обычно проекцией. Справедлива следующая

   Теорема 11. В множестве Т(Wn) можно всести такую топологию, что в этом топологическом пространстве можно ввести структуру Сr-1-многообразия, относительно которой р является Сr-1-отображением. Эта структура однозначно определяется следующим требованием.

   Для любой точки а ∈ Wn найдутся окрестность U и Сr-1-диффеоморфизм h: p-1(U) → U × Rn такие, что если p1 и р2 — проекции U × Rn соответственно на первый и второй сомножители, то

  • 1) p1h = р;
  • 2) для любой точки а ∈ Wn отображение p2h|Та(Wn) есть линейный изоморфизм Та(Wn) на Rn.
  •    Тройка (Т(Wn), Wn, р), где р — проекция, называется касательным расслоением или касательным пучком многообразия Wn.

       Т(Wn) называют глобальным пространством касательного расслоения, Сr-многообразие Wn — базой, а множество р-1(а) = Та(Wn) — слоем расслоения над точкой а. Отображение v, которое каждой точке а ∈ Wn ставит в соответствие вектор v(а) ∈ Та(Wn), называется векторным полем на многообразии Wn. Ясно, что векторное поле есть отображение v: Wn → Т(Wn). Тем самым ясно, что понимается под Сr-векторным полем на Wn. Из теоремы 11 вытекает, что для любой точки а ∈ Wn существует ее окрестность U ⊂ Wn такая, что на U можно задать n линейно независимых (в каждой точке) векторных полей e1, ..., еn тласса Сr-1. Очевидно, в каждом слое Та(Wn) значения этих векторных полей образуют базис e1(a), ..., еn(a).