|
Пусть дано Сr-многообразие Wn. Рассмотрим множество
 .
Тогда возникает естественное отображение p: Т(Wn) → Wn,
переводящее вектор х ∈ Та(Wn) в точку а ∈ Wn,
т. е. р-1(а) = Та(Wn). Отображение р называют обычно проекцией.
Справедлива следующая
Теорема 11. В множестве Т(Wn) можно всести такую
топологию, что в этом топологическом пространстве можно ввести
структуру Сr-1-многообразия, относительно которой р является
Сr-1-отображением. Эта структура однозначно определяется
следующим требованием.
Для любой точки а ∈ Wn найдутся окрестность U и
Сr-1-диффеоморфизм h: p-1(U) → U × Rn такие, что если p1 и р2 —
проекции U × Rn соответственно на первый и второй
сомножители, то
1) p1h = р;
2) для любой точки а ∈ Wn отображение p2h|Та(Wn) есть
линейный изоморфизм Та(Wn) на Rn.
Тройка (Т(Wn), Wn, р), где р — проекция, называется
касательным расслоением или касательным пучком многообразия Wn.
Т(Wn) называют глобальным пространством касательного
расслоения, Сr-многообразие Wn — базой, а множество р-1(а) = Та(Wn)
— слоем расслоения над точкой а.
Отображение v, которое каждой точке а ∈ Wn ставит в
соответствие вектор v(а) ∈ Та(Wn), называется векторным полем на
многообразии Wn. Ясно, что векторное поле есть отображение v: Wn → Т(Wn).
Тем самым ясно, что понимается под Сr-векторным полем на Wn.
Из теоремы 11 вытекает, что для любой точки а ∈ Wn
существует ее окрестность U ⊂ Wn такая, что на U можно задать
n линейно независимых (в каждой точке) векторных полей e1, ..., еn
тласса Сr-1. Очевидно, в каждом слое Та(Wn) значения этих
векторных полей образуют базис e1(a), ..., еn(a).
|