Топология. Касательное расслоение гладкого многообразия. Глобальное пространство касательного расслоения. Векторное поле на многообразии. Слой расслоения над точкой. Касательное расслоение. Касательный пучок многообразия. Диффеоморфизм. Топологическое пространство. Линейный изоморфизм. Окрестность. Отображение

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии



 Дифференциальная геометрия и топология Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.6 Касательное расслоение гладкого многообразия Назад // Вперед

   Пусть дано Сr-многообразие Wn. Рассмотрим множество

.

Тогда возникает естественное отображение p: Т(Wn) → Wn, переводящее вектор х ∈ Та(Wn) в точку а ∈ Wn, т. е. р-1(а) = Та(Wn). Отображение р называют обычно проекцией. Справедлива следующая

   Теорема 11. В множестве Т(Wn) можно всести такую топологию, что в этом топологическом пространстве можно ввести структуру Сr-1-многообразия, относительно которой р является Сr-1-отображением. Эта структура однозначно определяется следующим требованием.

   Для любой точки а ∈ Wn найдутся окрестность U и Сr-1-диффеоморфизм h: p-1(U) → U × Rn такие, что если p1 и р2 — проекции U × Rn соответственно на первый и второй сомножители, то

  • 1) p1h = р;
  • 2) для любой точки а ∈ Wn отображение p2h|Та(Wn) есть линейный изоморфизм Та(Wn) на Rn.
  •    Тройка (Т(Wn), Wn, р), где р — проекция, называется касательным расслоением или касательным пучком многообразия Wn.

       Т(Wn) называют глобальным пространством касательного расслоения, Сr-многообразие Wn — базой, а множество р-1(а) = Та(Wn) — слоем расслоения над точкой а. Отображение v, которое каждой точке а ∈ Wn ставит в соответствие вектор v(а) ∈ Та(Wn), называется векторным полем на многообразии Wn. Ясно, что векторное поле есть отображение v: Wn → Т(Wn). Тем самым ясно, что понимается под Сr-векторным полем на Wn. Из теоремы 11 вытекает, что для любой точки а ∈ Wn существует ее окрестность U ⊂ Wn такая, что на U можно задать n линейно независимых (в каждой точке) векторных полей e1, ..., еn тласса Сr-1. Очевидно, в каждом слое Та(Wn) значения этих векторных полей образуют базис e1(a), ..., еn(a).