Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.5 Касательное пространство n-мерного глацкого многообразия в данной точке Назад // Вперед

   Пусть (Wn, U0r) — гладкое многообразие. Рассмотрим С1-путь f: [α, β] → Wn, проходящий через некоторую точку а ∈ Wn, т. е. f(α') = а для некоторого α' ∈ (α, β). Обозначим через Πа множество всех С1 путей, проходящих через точку а. Пусть (U, φ) ∈ U0r — координатная окрестность точки а. Тогда у точки α' найдется такая окрестность ω ⊂ (α, β), что f(ω) ⊂ U и потому определено отображение f* = φf|ω: ω → Rn. Отображение f* задается C1-функциями x1 = f1(t), ..., xn = fn(t), где t ∈ ω.

   Вектор

{df1(α')/dt, ..., dfn(α')/dt}

в n-мерном арифметическом пространстве An называется касательным вектором к С1-пути f в точке а ∈ Wn относительно карты (U, φ). Здесь и ниже считаем, что Аn снабжено топологией, как пря- прямое произведение пространств R1.

   Обозначим через Та(U, φ) совокупность векторов, касательных относительно карты (U, φ) к всевозможным путям из Пa в точке а.

   Теорема 9. Множество Та(U, φ)) совпадает с Аn.

   Действительно, пусть

f1 = ξ1(t - α') + a1, ..., fn = ξn(t - α') + an,   (3.4)
где а1, ..., аn — локальные координаты точки а относительно карты (U, φ), a ξ1, ..., ξn — произвольные вещественные числа. Тогда вектор 1, ..., ξn} является касательным к С1-пути f, определенному уравнением (3.4) в точке а относительно карты (U, φ). Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.

   Пусть (Uα, φα), (Uβ, φβ) — две произвольные карты на Сr-многообразии Wn такие, что Uα и φα являются координатными окрестностями точки а ∈ Wn. Пусть, далее, γ: [с, d] → Wn — путь из Πa, причем можно считать, что

γ([с, d]) ⊂ Uα ∩ Uβ.

Диффеоморфизм ψαβ = φβφα-1: φα(Uα ∩ Uβ) → φβ(Uα ∩ Uβ) описывается Сr-функциями

yi = ψ(i)αβ(x1, ..., xn)    (i = 1, ..., n),   (3.5)

определенными на φα(Uα ∪ Uβ).

   Пусть в карте (Uα, φα) путь γ определяется уравнениями

xi = fi(t)   (i = 1, ..., n),    t ∈ [c,d],

причем а = γ(с'), где с' ∈ (с, d). Аналогично, в карте (Uβ, φβ) путь γ определяется уравнениями

yj = gj(t)   (j = 1, ..., n),    t ∈ [c,d].

Тогда векторы

являются касательными векторами к пути γ в точке а соответственно в картах (Uα, φα) и (Uβ, φβ). В силу (3.5) имеют место тождества

gj(t) ≡ ψ(j)αβ(f1(t), ..., fn(t))   (j = 1, ..., n).

Поэтому

Следовательно, вектор у получается из вектора х линейным преобразованием αβ с матрицей

где все элементы матрицы αβ вычислены в точке а. Невырожденность αβ вытекает из (3.3). Линейный оператор αβ часто называют дифференциалом отображения ψαβ в точке а. Итак, определен изоморфизм αβ: Ta(Uα, φα) → Ta(Uβ, φβ), который устанавливает соответствие между касательными векторами в точке а в разных системах локальных координат.

   Пусть U0r — максимальный атлас Сr-многообразия (Wn, U0r) и а — произвольная точка из Wn. Рассмотрим всевозможные координатные окрестности Uα точки а,и пусть индекс α, соответствующий этим окрестностям, пробегает множество Ξa. В топологической сумме введем отношение S следующим способом. Для {α, (х1, ..., хn)} и {β, {(y1, ..., уn)} полагаем:

  • 1) {α, (х1, ..., хn)} S {β, {(y1, ..., уn)} при α = β тогда и только тогда, когда y1 = x1, ..., yn = xn;
  • 2) {α, (х1, ..., хn)} S {β, {(y1, ..., уn)} при α ≠ β тогда и только тогда, когда вектор (y1, ..., уn) получается из 1, ..., хn) с помощью дифференциала отображения φαβ в точке а. Легко видеть, что S есть отношение эквивалентности в Та. Факторпространство Та/S называется касательным пространством Сr-многообразия Wn в точке а и обозначается Та(Wn), а элементы Та(Wn)касательными векторами в точке а к этому многообразию. Если ξ, η ∈ Та(Wn), то для любых вещественных чисел λ и μ вектор λξ + μη определяется так. Пусть α0 — некоторый индекс из множества Ξа. Тогда в Ta(Uα, φα) существуют векторы 1, ..., хn) и ((y1, ..., уn) такие, что

    ξ = [{α0, ((x1, ..., xn))}],     η = [{α0, (y1, ..., уn)}],

    где квадратные скобки обозначают соответствующий класс эквивалентности. Положим

    λξ + μη = [{α0, (λx1 + μy1, ..., λxn + μyn)}].

    Читатель легко докажет корректность этого определения, а также, что относительно так введенных линейных операций Та(Wn) образует линейное топологическое пространство, а соответствие

    ξ ∈ Ta(Wn) → (x1, ..., xn) ∈ Ta(Uα0, φα0)
    порождает канонический линейный изоморфизм между Та(Wn) и Ta(Uα0, φα0)- Таким образом, справедлива

       Теорема 10. Касательное пространство в любой точке Сr-многообразия размерности n является n-мерным линейным топологическим пространством.