Пусть (Wn, U0r) — гладкое многообразие. Рассмотрим
С1-путь f: [α, β] → Wn, проходящий через некоторую точку а ∈ Wn,
т. е. f(α') = а для некоторого α' ∈ (α, β). Обозначим через
Πа множество всех С1 путей, проходящих через точку а. Пусть
(U, φ) ∈ U0r — координатная окрестность точки а.
Тогда у точки α' найдется такая окрестность ω ⊂ (α, β),
что f(ω) ⊂ U и потому определено отображение
f* = φf|ω: ω → Rn. Отображение f*
задается C1-функциями x1 = f1(t), ..., xn = fn(t),
где t ∈ ω.
Вектор
{df1(α')/dt, ..., dfn(α')/dt}
в n-мерном арифметическом пространстве An называется
касательным вектором к С1-пути f в точке а ∈ Wn относительно карты
(U, φ). Здесь и ниже считаем, что Аn снабжено топологией, как пря-
прямое произведение пространств R1.
Обозначим через Та(U, φ) совокупность векторов, касательных
относительно карты (U, φ) к всевозможным путям из Пa в точке а.
Теорема 9. Множество Та(U, φ)) совпадает с Аn.
Действительно, пусть
f1 = ξ1(t - α') + a1, ..., fn = ξn(t - α') + an, (3.4)
где а1, ..., аn — локальные координаты точки а относительно карты
(U, φ), a ξ1, ..., ξn — произвольные вещественные числа. Тогда
вектор {ξ1, ..., ξn} является касательным к С1-пути f, определенному
уравнением (3.4) в точке а относительно карты (U, φ). Отсюда
непосредственно следует утверждение теоремы.
Пусть (Uα, φα), (Uβ, φβ) — две произвольные карты на
Сr-многообразии Wn такие, что Uα и φα являются координатными
окрестностями точки а ∈ Wn. Пусть, далее, γ: [с, d] → Wn — путь
из Πa, причем можно считать, что
γ([с, d]) ⊂ Uα ∩ Uβ.
Диффеоморфизм ψαβ = φβφα-1:
φα(Uα ∩ Uβ) → φβ(Uα ∩ Uβ)
описывается Сr-функциями
yi = ψ(i)αβ(x1, ..., xn) (i = 1, ..., n), (3.5)
определенными на φα(Uα ∪ Uβ).
Пусть в карте (Uα, φα) путь γ определяется уравнениями
xi = fi(t) (i = 1, ..., n), t ∈ [c,d],
причем а = γ(с'), где с' ∈ (с, d). Аналогично, в карте
(Uβ, φβ) путь
γ определяется уравнениями
yj = gj(t) (j = 1, ..., n), t ∈ [c,d].
Тогда векторы
являются касательными векторами к пути γ в точке а
соответственно в картах (Uα, φα) и
(Uβ, φβ).
В силу (3.5) имеют место тождества
gj(t) ≡ ψ(j)αβ(f1(t), ..., fn(t)) (j = 1, ..., n).
Поэтому
Следовательно, вектор у получается из вектора х линейным преобразованием
Dψαβ с матрицей
где все элементы матрицы Dψαβ вычислены в точке а.
Невырожденность Dψαβ вытекает из (3.3). Линейный оператор Dψαβ часто
называют дифференциалом отображения ψαβ в точке а. Итак, определен
изоморфизм Dψαβ: Ta(Uα, φα)
→ Ta(Uβ, φβ), который
устанавливает соответствие между касательными векторами в точке а в
разных системах локальных координат.
Пусть U0r — максимальный атлас Сr-многообразия
(Wn, U0r)
и а — произвольная точка из Wn. Рассмотрим всевозможные
координатные окрестности Uα точки а,и пусть индекс α,
соответствующий этим окрестностям, пробегает множество Ξa. В
топологической сумме введем отношение
S следующим способом.
Для {α, (х1, ..., хn)} и {β, {(y1, ..., уn)} полагаем:
1) {α, (х1, ..., хn)} S {β, {(y1, ..., уn)} при
α = β тогда и только
тогда, когда y1 = x1, ..., yn = xn;
2) {α, (х1, ..., хn)} S {β, {(y1, ..., уn)}
при α ≠ β тогда и только
тогда, когда вектор (y1, ..., уn) получается из (х1, ..., хn) с помощью
дифференциала отображения φαβ в точке а. Легко видеть, что S
есть отношение эквивалентности в Та. Факторпространство Та/S
называется касательным пространством Сr-многообразия Wn в
точке а и обозначается Та(Wn), а элементы Та(Wn) —
касательными векторами в точке а к этому многообразию.
Если ξ, η ∈ Та(Wn), то для любых вещественных чисел λ и μ
вектор λξ + μη определяется так. Пусть α0 — некоторый индекс из множества Ξа.
Тогда в Ta(Uα, φα) существуют векторы
(х1, ..., хn) и ((y1, ..., уn) такие, что
ξ = [{α0, ((x1, ..., xn))}],
η = [{α0, (y1, ..., уn)}],
где квадратные скобки обозначают соответствующий класс
эквивалентности. Положим
λξ + μη = [{α0, (λx1 + μy1, ..., λxn + μyn)}].
Читатель легко докажет корректность этого определения, а
также, что относительно так введенных линейных операций Та(Wn)
образует линейное топологическое пространство, а соответствие
ξ ∈ Ta(Wn) → (x1, ..., xn) ∈
Ta(Uα0, φα0)
порождает канонический линейный изоморфизм между Та(Wn)
и Ta(Uα0, φα0)- Таким образом, справедлива
Теорема 10. Касательное пространство в любой точке
Сr-многообразия размерности n является n-мерным линейным топологическим пространством.
|