Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.4 Сr-многообразия. Аналитические многообразия Назад // Вперед

   Пусть Wnn-мерное топологическое многообразие. Так как каждая точка его имеет окрестность, гомеоморфную открытому множеству в Rn, то эти окрестности определяют некоторое покрытие Wn. Пусть система {Ua} является покрытием Wn такими окрестностями. Каждому Uа отвечает тогда гомеоморфизм φα: Uα → φα(Uα), где φα(Uα) — открытое множество в Rn. Пара (Uα, φα) называется локальной картой Wn, а совокупность всех локальных карт U = {(Uα, φα)}, порожденных рассматриваемым покрытием, называется атласом на Wn.

   Для любых двух карт (Uα, φα) и (Uβ, φβ) из атласа U таких, что Uαβ = Uα ∩ Uβ ≠ ∅, отображение ψαβ = φβφα-1|φα(Uαβ): φα(Uαβ) → φβ(Uαβ) является гомеоморфизмом. Так как отображения ψαβ принадлежат классу С0, то естественно назвать карты (Uα, φα) и (Uβ, φβ) С0-согласованными. Говорят, что карты (Uα, φα) и (Uβ, φβ) Сr-согласованы, где 0 ≤ r ≤ + ∞ — целое число, если гомеоморфизм ψαβ является Сr-диффеоморфизмом. Атлас U называется атласом класса Сr, если все его карты Сr-согласованы.

   Два атласа U = {(Uα, φα)} и B = {(Vβ, ψβ)} класса Сr на многообразии Wn называются эквивалентными, если их объединение есть также атлас класса Сr. Легко видеть, что введенная эквивалентность атласов есть обычное отношение эквивалентности.

   Семейство Ar всевозможных эквивалентных между собой атласов класса Сr на многообразии Wn определяет единственный максимальный атлас U0r, который состоит из всех карт всевозможных атласов из Ar. Атлас U0r называют также Сr-структурой многообразия Wn.

   Пример 1. Пусть W = R1 и покрытие состоит из одной окрестности U, совпадающей со всем пространством. Любой гомеоморфизм этой окрестности на R1 задается непрерывной монотонной вещественной функцией f одной переменной, не имеющей горизонтальных асимптот. Тем самым любая такая функция определяет атлас Uf, состоящий из одной карты (U, f). По определению два атласа Uf1, и Uf2 Сr-эквивалентны тогда и только тогда, когда функция f1f2-1 принадлежит классу Сr. Если f1(х) = х, а f2(x) = {x при x < 0, 2x при x ≥ 0} то f1f2-1 не принадлежит классу Сr(r > 1) мы получаем различные Сr-структуры на прямой.

   Пара (Wn, U0r) называется гладким многообразием класса Сr. Аналогично определяются многообразия класса С и аналитические. Карты максимального атласа U0r называют также системами локальных координат в многообразии (Wn, U0r). Если (Uα, φα) — карта атласа U0r, то Uα называется координатной окрестностью. Пусть, далее, а — произвольная точка Uα. За локальные координаты х1, ..., хn точки а в системе (Uα, φα) принимаются координаты точки φα(a) ∈ Rn.

   Отметим, что любое Сr-многообразие (Wn, U0r) определяется заданием на Wn какого-либо атласа U, Сr-эквивалентного максимальному атласу U0r. Отметим также, что любое открытое подмножество Сr-многообразия естественно снабжается индуцированной Сr-тструктурой и превращается в Сr-подмногообразие. В дальней- дальнейшем считаем фиксированной на Wn какую-либо гладкую структуру класса Сr и поэтому Сr-многообразие будем обозначать просто Wn.

   Пусть U — открытое множество в Сr-многообразии Wn. Отображение f: U → R1 называется Сr-функцией на U, если существует карта (Uα, φα) ∈ U0r такая, что Uα ⊂ U и отображение α-1|φα(Uα): φα(Uα) → R1 является Сr-отображением. Пусть (Wn, U0r) и m, B0r)Сr-многообразия и f: Wn → Ŵm — непрерывное отображение. Говорят,что/ есть Сr-отображение (Wn, U0r) в m, B0r), если для любой точки х ∈ W найдется такая пара карт (Uα, φα) ∈ U0r и (Vβ, ψβ) ∈ B0r, что х ∈ Uα, f(Uα) ⊂ Vβ и отображение ψβα-1: φα(Uα) → ψβ(Vβ) является Сr-отображением. При m = n отображение f: Wn → Ŵn называется Сr-диффеоморфизмом многообразия (Wn, U0r) на многообразие (Ŵn, B0r), если f — гомеоморфизм и отображения f и f-l являются Сr-отображениями. Аналогично определяются отображения и диффеоморфизмы многообразий класса С и аналитические.

   Пример 2. Все Сr-многообразия, определенные в примере 1, диффеоморфны между собой.

   Следующая теорема Уитни позволяет фактически рассматривать вместо гладких многообразий многообразия класса С.

   Теорема7(Х. Уитни). Для каждого Сr-многообразия (r ≥ 1) (Wn, U0r) существует Сr-диффеоморфизм на С-многообразие (Wn, B0).

   В силу этой теоремы на многообразии Wn класса С1 может быть введена структура класса С, т. е. для всякого заданного на Wn атласа класса С1 существует Сr-эквивалентный ему атлас класса С.

   Возникают вопросы: всякое ли топологическое многообразие можно снабдить С1-структурой, а если это возможно, то будет ли такая структура единственна с точностью до диффеоморфизма? Оказывается, что не всякое топологическое многообразие допускает С1-структуру. Это было показано Кервэром.

   Второй вопрос решается также отрицательно. Например, Дж. Милнор показал, что на сфере S7 можно определить ровно 28 неэквивалентных С-структур.

   Отметим, что понятие Сr-структуры может быть аналогичным образом определено и для топологических многообразий с краем.

   Пусть Wn — гладкое многообразие. Говорят, что множество Н ⊂ Wnимеет меру нуль, если в некотором, а следовательно, и в любом атласе U = {(Uα, φα)} класса С1 для каждой карты (Uα, φα) множество φα(H ∩ Uα) имеет лебегову меру нуль в En.

   Напомним, что множество S ⊂ Еn имеет меру нуль, если для каждого ε > 0 существует не более чем счетная система шаров Tk такая, что

  • 1)
  • и

  • 2)
  • где v(Tk) — объем шара Tk.

       Отсюда легко вытекает следующая

       Лемма 1. Объединение не более чем счетного семейства множеств меры нуль есть множество меры нуль.

       Пусть Wn и Vn — гладкие многообразия и f: WnVn — отображение класса C1.

       Возьмем на Wn атлас U = {(Uα, φα)} класса C1, а на Vn аналогичный атлас B = {(Vβ, ψβ)}.

       Пусть точка х ∈ Wn имеет координаты (x1, ..., хn) в карте (Uα, φα), а Y = f(х) ∈ Vn — координаты (y1, ..., yn) в карте (Vβ, ψβ). Тем самым в окрестности точки х отображение f задается системой

    yi = fi(x1, ..., хn)    (i = 1, ..., n),

    где fi ∈ C1.

       Точка х ∈ Wn называется критической точкой отображения f, если якобиан

    = 0,

       Очевидно, это определение не зависит от выбора карты в максимальном атласе, поскольку при переходе к другим картам соответствующий якобиан будет иметь сомножителем определитель .

       Теорема 8 (А. Сард). Пусть Wn, Vn— гладкие многообра- многообразия и f: Wn → Vn — отображение класса С1. Тогда образ множества критических точек отображения f будет множеством меры нуль.