Пусть Y - конечномерное линейное пространство, a U - открытое множество в Rⁿ, Обозначим через С^r (U, Y) (r ≥ 0 - целое число) множество всех отображений f: U → Y таких, что для любого линейного функционала l: Y → R¹ функция lf ∈ C^r(U).

   Пусть e₁, ..., е_m - произвольный базис в Y. Тогда для каждой точки х = (x₁, ..., x_m) ∈ U найдутся вещественные числа

такие, что f(x) = f₁(x)e₁ + ... + f_m(x)e_m, т.е. при фиксированном базисе отображение f равносильно заданию m функций f₁(x₁, ..., x_n), ... , f_m(x₁, ..., x_n), определенных на U.

   Не составляет труда убедиться в том, что f ∈ C^r(U, Y) тогда и только тогда, когда функции f_i ∈ C^r(U) (i = 1, ..., m).

   Элементы множества С^r(U, Y) называют С^r-отображениями U в Y.

   Аналитические отображения множества U в Y определяются аналогично, и множество этих отображений обозначается C^a(U, Y).

   Пусть U и V - открытые множества в Rⁿ. Отображение f: U → V называют С^r-диффеоморфизмом или просто диффеоморфизмом U на V, если f есть гомеоморфизм и оба отображения f и f^-1 являются С^r-отображениями. Аналогично определяется ана- аналитический диффеоморфизм. Если U = V, то С^r-диффеоморфизм называют также С^r-автоморфизмом.

   Пусть С^r-диффеоморфизм f: U → V ставит в соответствие каждой точке х = (х₁, ... ,х_n) ∈ U точку у = (y₁, ... ,y_n) ∈ V. Тогда f задается системой функций

из класса С^r(U), а отображение g = f^-1: V → U аналогичной системой функций

класса С^r(V). Отображение gf: U → U тождественное, а потому,как известно из анализа, имеет место равенство

где

Поэтому в каждой точке области U