Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 3.1.3 С'-отображения. Диффеоморфизм Назад // Вперед

   Пусть Y - конечномерное линейное пространство, a U - открытое множество в Rn, Обозначим через Сr (U, Y) (r ≥ 0 - целое число) множество всех отображений f: U → Y таких, что для любого линейного функционала l: Y → R1 функция lf ∈ Cr(U).

   Пусть e1, ..., еm - произвольный базис в Y. Тогда для каждой точки х = (x1, ..., xm) ∈ U найдутся вещественные числа

f1(x) = f1(x1, ..., xn), ... , fm(x) = fm(x1, ..., xn)

такие, что f(x) = f1(x)e1 + ... + fm(x)em, т.е. при фиксированном базисе отображение f равносильно заданию m функций f1(x1, ..., xn), ... , fm(x1, ..., xn), определенных на U.

   Не составляет труда убедиться в том, что f ∈ Cr(U, Y) тогда и только тогда, когда функции fi ∈ Cr(U) (i = 1, ..., m).

   Элементы множества Сr(U, Y) называют Сr-отображениями U в Y.

   Аналитические отображения множества U в Y определяются аналогично, и множество этих отображений обозначается Ca(U, Y).

   Пусть U и V - открытые множества в Rn. Отображение f: U → V называют Сr-диффеоморфизмом или просто диффеоморфизмом U на V, если f есть гомеоморфизм и оба отображения f и f-1 являются Сr-отображениями. Аналогично определяется ана- аналитический диффеоморфизм. Если U = V, то Сr-диффеоморфизм называют также Сr-автоморфизмом.

   Пусть Сr-диффеоморфизм f: U → V ставит в соответствие каждой точке х = (х1, ... ,хn) ∈ U точку у = (y1, ... ,yn) ∈ V. Тогда f задается системой функций

  y1 = f1(x1, ..., xn),

... ...

yn = fn(x1, ..., xn)

из класса Сr(U), а отображение g = f-1: V → U аналогичной системой функций

  x1 = g1(y1, ..., yn),

... ...

xn = gn(y1, ..., yn)

класса Сr(V). Отображение gf: U → U тождественное, а потому,как известно из анализа, имеет место равенство

J(f) * J(g) ≡ 1,

где

Поэтому в каждой точке области U

J(f) ≠ 0. (3.3)