Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.8. Топология в прямом произведении пространств Назад // Вперед

   Операция прямого произведения топологических пространств позволяет конструировать новые топологические пространства.

   Прямым произведением X Y множеств X, Y называется совокупность упорядоченных пар (х,у), где х X, у Y.

   Можно рассматривать прямые произведения Xα любого числа сомножителей Xα. Если I = {1, 2, ..., n} - конечное множество, то элементами такого произведения

Xα = Х1 Х2 ... Хn

являются упорядоченные наборы (х1,x2,...,xn), где xi Xi,

i = 1,2,...,n.

   Пусть (X,ΩХ) и (Y,ΩY) - топологические пространства. Их топологическим произведением называется множество X Y с топологией ΩХY, состоящей из всех множеств, являющихся объединениями прямых произведений открытых подмножеств X и Y:

ΩХY = {W = Uj Vj : Uj ΩY},

где J - некоторое индексирующее множество.

   Совокупность S всевозможных множеств из X Y вида U Y и X V, где U ΩX, У ΩY, образует предбазу топологии ΩXY. Действительно, каждый элемент U V принадлежит базе топологии ΩXY и представим в следующем виде: U V = (U Y) (X V).

   Теорема 2.16. Пусть (X,ΩX) и (Y,ΩY) - топологические пространства. Если пространства X и Y хаусдорфовы то их топологическое произведение (X Y,ΩXY) хаусдорфово.

   Доказательство. Предположим, что X и Y хаусдорфовы, и пусть w1 = (x1,y1), w2 = (x2,y2) две различные точки из X Y. Если x1 x2, то можно найти два непересекающихся открытых в X множества U(x1), U(х2) таких, что x1 U(х1), x2 U(х2). Тогда множества U(x1) Y и U(x2) Y открыты и не пересекаются в X Y, причем, w1 U(x1) Y, w2 U(x2) Y. Если x1 x2 то У1 У2, и аналогичное рассуждение показывает, что в X Y найдутся открытые непересекающиеся множества X V(y1), X V(у2), для которых w1 X V(y1), w2 X V(y2). Таким образом, в пространстве (X У,ΩXY) выполняется аксиома Т2.

    Теорема доказана.

   Произведение любого конечного числа топологических пространств определяется совершенно аналогично случаю двух пространств, а именно: в качестве базы топологии в декартовом произведении Xα = Х1 Х2 ... Хn берется совокупность всех подмножеств U1 U2 ... Un Xα, где Ui - открытые множества в соответствующих топологических пространствах (Xii). Тогда топология Ω в Xα состоит из всевозможных объединений множеств из базы. Возникшая таким образом топология Ω в Xα называется прямым произведением топологий Ωi и обозначается так: Ω = Ω1 Ω2 ... Ωn.