Операция прямого произведения топологических пространств позволяет
конструировать новые топологические пространства.
Прямым произведением X Y множеств X, Y называется совокупность упорядоченных
пар (х,у), где х X, у Y.
Можно рассматривать прямые произведения Xα любого числа
сомножителей Xα. Если I = {1, 2, ..., n} - конечное множество, то элементами такого произведения
Xα
= Х1 Х2 ... Хn
являются упорядоченные наборы (х1,x2,...,xn),
где xi Xi, i = 1,2,...,n.
Пусть (X,ΩХ) и (Y,ΩY) - топологические пространства.
Их топологическим произведением
называется множество X Y с топологией ΩХY,
состоящей из всех множеств, являющихся объединениями прямых
произведений открытых подмножеств X и Y:
ΩХY = {W = Uj
Vj : Uj ΩY},
где J - некоторое индексирующее множество.
Совокупность S всевозможных множеств из X Y вида
U Y и
X V, где U ΩX, У ΩY, образует предбазу топологии
ΩXY.
Действительно, каждый элемент U V принадлежит базе топологии
ΩXY и представим в следующем виде:
U V
= (U Y) (X V).
Теорема 2.16. Пусть (X,ΩX) и (Y,ΩY) - топологические пространства.
Если пространства X и Y хаусдорфовы то их топологическое произведение
(X Y,ΩXY)
хаусдорфово.
Доказательство. Предположим, что X и Y хаусдорфовы, и пусть
w1 = (x1,y1), w2 = (x2,y2) две
различные точки из X Y.
Если x1 x2, то можно найти два непересекающихся
открытых в X множества U(x1), U(х2)
таких, что x1 U(х1),
x2 U(х2).
Тогда множества U(x1) Y
и U(x2) Y
открыты и не пересекаются в X Y,
причем, w1 U(x1) Y,
w2 U(x2) Y.
Если x1 x2 то
У1 У2, и аналогичное рассуждение показывает,
что в X Y найдутся открытые непересекающиеся множества
X V(y1),
X V(у2),
для которых
w1 X V(y1),
w2 X V(y2).
Таким образом, в пространстве (X У,ΩXY)
выполняется аксиома Т2.
Теорема доказана.
Произведение любого конечного числа топологических пространств
определяется совершенно аналогично случаю двух пространств, а именно: в
качестве базы топологии в декартовом произведении
Xα =
Х1 Х2 ... Хn
берется совокупность всех подмножеств
U1 U2 ... Un
Xα, где Ui -
открытые множества в соответствующих топологических пространствах (Xi,Ωi).
Тогда топология Ω в Xα состоит из всевозможных
объединений
множеств из базы. Возникшая таким образом топология Ω в Xα
называется прямым произведением топологий Ωi и обозначается так:
Ω = Ω1 Ω2 ... Ωn.
|