Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.6. Аксиомы счетности Назад // Вперед

   Говорят, что топологическое пространство (X,Ω) удовлетворяет второй аксиоме счетности, если его топология Ω обладает счетной базой.

   Теорема 2.7 утверждает, что если топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно сепарабельно. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно - сепарабельное пространство не обязательно удовлетворяет второй аксиоме счетности.

   См. пример.

   Подсистема Т покрытия S пространства (X,Ω) называется подпокрытием покрытия S, если она сама является покрытием пространства (Х,Ω).

   Теорема 2.11 (Линделёф). Если пространство (X,Ω) удовлетворяет второй аксиоме счетности, то в любом его открытом покрытии S содержится не более чем счетное подпокрытие.

   Доказательство. Пусть S = - произвольное открытое покрытие X: X = Sδ, где Sδ Ω для любого δ D, а β = - некоторая счетная база X. Для каждой точки х X обозначим через Sδ(x) один из элементов покрытия S, содержащих х. В силу теоремы 1.9 найдется элемент базы Vi(x) такой, что х Vi(x) Sδ(x). Отобранное семейство {Vi(x)}xX элементов базы не более чем счетно и является покрытием X: Vi(x)= X. Выбирая для каждого Vi(x) одно из содержащих его множеств Sδ(x), получим не более чем счетное подсемейство покрытия S, которое тоже является покрытием пространства X.

   Теорема доказана.

   С помощью теоремы Линделёфа в топологии вводится важный и интересный класс топологических пространств, называемых линделёфовыми или финально компактными, т.е. таких, в которых из любого открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подпокрытие. Этот класс шире, чем класс пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности.

   Семейство β(x) = {Vα(x)}αI окрестностей точки х топологического пространства X называется базой системы окрестностей точки х, если в каждой окрестности точки х содержится некоторая окрестность из этого семейства.

   Говорят, что топологическое пространство (X,Ω) удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей всякой его точки обладает счетной базой, т.е. базой, состоящей не более чем из счетного множества элементов.

   Топологическое пространство (X,Ω), удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет и первой аксиоме счетности. Действительно, пусть β = {Vi}iI - счетная база пространства X, а х - произвольная точка пространства X. Рассмотрим подсемейство β(x) β, состоящее из всех тех элементов β, которые содержат точку х, т.е. являются окрестностями этой точки. Если U - произвольная окрестность точки х, то в силу теоремы 1.9 существует множество Vi β такое, что х Vi U. Но тогда Vi принадлежит и подсемейству β(x) и, следовательно, β(x) образует, по определению, базу системы окрестностей точки х.

   Следующий пример показывает, что существуют пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, но не удовлетворяющие второй аксиоме счетности.

   См. пример.

   Таким образом, выполнение второй аксиомы счетности является более сильным условием на топологическое пространство, чем выполнение первой аксиомы счетности.