Топологическое пространство (X,Ω) называется сепарабелъным,
если X содержит не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с X.
Таким образом, сепарабельные пространства - это пространства, которые содержат не более
чем счетные всюду плотные множества. Эти пространства имеют ряд полезных свойств и играют
важную роль во многих разделах математики.
- Числовая прямая R1 со стандартной топологией является сепарабельным пространством,
поскольку содержит счетное всюду плотное множество Q рациональных точек.
- Дискретное топологическое пространство, состоящее из несчетного множества точек
, является простым примером несепарабельного топологического пространства.
- Всякое топологическое пространство с тривиальной топологией является сепарабельным.
Говорят, что топология Ω обладает счетной базой β, если β состоит не более чем из счетного числа множеств.
Теорема 2.10. Если пространство (X,Ω) обладает счетной базой, то оно сепарабельно.
Доказательство. Пусть β = - некоторая счетная база в X, где
индекс i пробегает не более чем счетное множество индексов I. Построим множество А = , выбрав
по одной точке ai, из Vi, и докажем, что = X.
Так как в силу теоремы 1.6 = А А', то достаточно
показать, что любая точка х0 множества Х\А является предельной точкой множества А.
Рассмотрим произвольную окрестность U точки х0. Из теоремы 2.4 следует, что найдется такое
множество Vi0 β, что х0 Vi0 U. Так как пересечение
Vi0 А ,
то существует точка ai0
(Vi0 А) U, причем,
x0 аi0.
То есть любая окрестность U точки х0 Х\А содержит некоторую точку
аi0 А.
Это означает, что точка х0 является предельной точкой множества А: х0 А'.
Следовательно, = А (X\А) = X. Таким образом, А является не более чем
счетным всюду плотным в X множеством, что и доказывает сепарабельность пространства (X,Ω).
Теорема доказана.
|