Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.5. Сепарабельные пространства Назад // Вперед

   Топологическое пространство (X,Ω) называется сепарабелъным, если X содержит не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с X. Таким образом, сепарабельные пространства - это пространства, которые содержат не более чем счетные всюду плотные множества. Эти пространства имеют ряд полезных свойств и играют важную роль во многих разделах математики.

  1. Числовая прямая R1 со стандартной топологией является сепарабельным пространством, поскольку содержит счетное всюду плотное множество Q рациональных точек.
  2. Дискретное топологическое пространство, состоящее из несчетного множества точек , является простым примером несепарабельного топологического пространства.
  3. Всякое топологическое пространство с тривиальной топологией является сепарабельным.

   Говорят, что топология Ω обладает счетной базой β, если β состоит не более чем из счетного числа множеств.

   Теорема 2.10. Если пространство (X,Ω) обладает счетной базой, то оно сепарабельно.

   Доказательство. Пусть β = - некоторая счетная база в X, где индекс i пробегает не более чем счетное множество индексов I. Построим множество А = , выбрав по одной точке ai, из Vi, и докажем, что = X. Так как в силу теоремы 1.6 = А А', то достаточно показать, что любая точка х0 множества Х\А является предельной точкой множества А. Рассмотрим произвольную окрестность U точки х0. Из теоремы 2.4 следует, что найдется такое множество Vi0 β, что х0 Vi0 U. Так как пересечение Vi0 А , то существует точка ai0 (Vi0 А) U, причем, x0 аi0. То есть любая окрестность U точки х0 Х\А содержит некоторую точку аi0 А. Это означает, что точка х0 является предельной точкой множества А: х0 А'. Следовательно, = А (X\А) = X. Таким образом, А является не более чем счетным всюду плотным в X множеством, что и доказывает сепарабельность пространства (X,Ω).

   Теорема доказана.