Топологическое пространство (X,Ω) называется связным, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. В противном случае X называется несвязным. Таким образом, пространство X несвязно, если в нем найдутся два непустых открытых множества U, V, которые не пересекаются, а в объединении дают все пространство X: U, V Ω, U V = , X = U V.

1. Любое антидискретное пространство связно.
2. Дискретное пространство, в котором больше одной точки, несвязно.
3. Числовая прямая R¹ со стандартной топологией связна.

   Подмножества А и В из пространства X называются отделенными друг от друга в X, если В = А = .

   Теорема 2.6. Пространство X связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить как объединение двух непустых отделенных друг от друга множеств.

   Доказательство. Необходимость. Пусть X - связно и пусть вопреки утверждению X = А В, где А, В - непустые отделенные друг от друга множества. Тогда, с одной стороны, Х\ Х\В = А , с другой стороны, из условия А = следует, что А Х\. Таким образом, А = Х\. Аналогично убеждаемся, что В = Х\. Следовательно, А, В открыты как дополнения замкнутых множеств. Приходим к противоречию со связностью X.

   Достаточность. Предположим, что X несвязно. Тогда X = U V, где U, V - открытые непустые непересекающиеся множества. Так как U = Х\V, V = Х\U, то множества и, V замкнуты в X как дополнения открытых множеств. Тогда U =U V = , V = U V = . Таким образом, X является объединением двух непустых отделенных друг от друга множеств и, V: Х = U V, что противоречит утверждению теоремы.

   Теорема доказана.

   Подмножество А топологического пространства (X,Ω) называется связным, если оно связно в индуцированной топологии как подпространство, то есть если топологическое пространство (А,Ω_A) связно.

   Теорема 2.7. Если связное подмножество топологического пространства X содержится в объединении двух непустых открытых (соответственно замкнутых) в X непересекающихся множеств, то оно целиком содержится в одном из них.

   Доказательство. Пусть А - связное подмножество X и А U V, где множества U, V открыты (соответственно замкнуты) в X и не пересекаются: U V = . Предположим, что A U = U₁ , A V = V₁ . Тогда А = U₁ V₁, где множества U₁,V₁ открыты (соответственно замкнуты) в индуцированной топологии Ω_A и U₁ V₁ = . Приходим к противоречию со связностью множества А.

   Теорема доказана.

   Теорема 2.8. Замыкание связного множества связно.

   Доказательство. Рассмотрим в топологическом пространстве X связное множество А. Предположим, что его замыкание несвязно. Пусть U V, где множества U, V открыты в X, имеют непустые пересечения с множеством : U , V , причем, пересечение всех трех множеств U, V и пусто: U V = . Так как множество А связно, то его пересечение с одним из двух множеств U, V пусто. Пусть, например, A U = . Это значит, что множество А содержится в замкнутом множестве X\U и, следовательно, замыкание тоже содержится в X\U, то есть U = . Полученное противоречие доказывает теорему.

   Теорема доказана.

   Теорема 2.9. Объединение двух связных множеств, имеющих по крайней мере одну общую точку, связно.

   Доказательство. Пусть А, В - связные подмножества топологического пространства X, имеющие непустое пересечение: А В . Предположим, что их объединение С = А В несвязно. Это значит, что С U V, где множества U, V открыты в X, имеют непустые пересечения с множеством С: U С , V C , причем, пересечение всех трех множеств U, V и С пусто: U V C = . Отсюда, A U V, B U V, U V А = , U V В = . Тогда из связности множеств А, В следует, что каждое из множеств А, В целиком содержится в одном из множеств U, V. Пусть, например, A U. Если теперь B V, то А В U V = (U V) (U V) = U V С = . А если B U, то C = A B U и тогда V C = . В обоих случаях получаем противоречие.

   Теорема доказана.