Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.3. Подпространства хаусдорфовых пространств Назад // Вперед

   В определении топологического пространства участвуют три аксиомы. Их уже достаточно для довольно содержательной теории. Но запас топологических пространств очень велик. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением пространств, удовлетворяющих различным дополнительным требованиям. Среди таких требований одно из важнейших - аксиома Хаусдорфа Т2. Покажем, что хаусдорфовость "передается по наследству" от пространства ко всем его топологическим подпространствам.

   Теорема 2.5. Подпространство (А,ΩА) хаусдорфова пространства (X,Ω) хаусдорфово.

   Доказательство. Пусть х, у - две различные точки из А X. Тогда по аксиоме Т2 существуют открытые в X окрестности U(х), U(у) этих точек, такие, что U(х) U(у) = . По определению индуцированной топологии ΩА множества V(х) = А U(х) и V(у) = А U(у) открыты в А, причем, х V(х), у V(у). Значит, V(х) и V(у) являются открытыми в А окрестностями точек х и у, соответственно, и при этом, V(х) V(у) = . Следовательно, А -хаусдорфово топологическое пространство в индуцированной из X топологии.

   Теорема доказана.

   Топологические свойства, которые передаются таким образом от пространства к его подпространствам, называются наследственными.