Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 2.2. Аксиомы отделимости Назад // Вперед

   Открытой окрестностью множества А в топологическом пространстве (X,Ω) называется всякое открытое множество U, содержащее А.

   Приведем основные аксиомы отделимости Т0 - Т4.

   Аксиома Т0 (аксиома Колмогорова). Из каждых двух различных точек топологического пространства по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку.

   Аксиома Т1. Каждая точка всякой пары различных точек топологического пространства имеет окрестность, не содержащую другую точку.

   Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Любые две различные точки х, у топологического пространства имеют окрестности О(х), О(у) такие, что О(х) О(у) = .

   Аксиома Т3. Для всякой точки х топологического пространства и всякого замкнутого множества F, не содержащего х, существует окрестность О(х) точки х и открытая окрестность U(F) множества F такие, что О(х) U(F) = .

   Аксиома Т4. Любые два замкнутые непересекающиеся множества F1, F2 топологического пространства имеют открытые окрестности U(F1), U(F2) такие, что U(F1) U(F2) = .

   Отметим, что среди аксиом Т0 - Т2 каждая следующая является более сильным условием на пространство, чем предыдущая. Для аксиом Т2 - Т4 то же верно лишь при условии, что выполняется аксиома T1, так как T1 не следует из Т3 или Т4.

   Топологическое пространство (X,Ω) называют Ti -пространством (i = 0,1,2,3,4), если оно удовлетворяет аксиоме Ti.

   При одновременном выполнении аксиом T1 и Т3 топологическое пространство (X,Ω) называется регулярным пространством.

   Если выполнены одновременно аксиомы T1 и Т4, то топологическое пространство (X,Ω) называют нормальным пространством.

   Топологические пространства, не удовлетворяющие аксиоме Т1, "неправильно" устроены с точки зрения классического анализа. Одноточечное множество в них может быть не замкнуто, а конечное множество может иметь предельные точки. В Т1 - пространствах такая ситуация уже не имеет места.

   См. пример.

   Таким образом, в топологическом пространстве (X,Ω) выполняется аксиома Т0 и не выполняется аксиома Т1 В этом пространстве множество А = {а} не замкнуто, а точка b является предельной для А.

   Теорема 23. В Т1 - пространстве (X,Ω) любое одноточечное множество замкнуто.

   Доказательство. Пусть х - произвольная точка пространства X. Покажем, что Х\{х} открыто. У любой точки у Х\{х} в силу аксиомы Т1 найдется окрестность О(у), не содержащая точку х и, следовательно, целиком лежащая в Х\{х}. Тогда по теореме 1.2 множество Х\{х} открыто, и значит, множество {х} замкнуто.

   Теорема доказана.

   Из теоремы 2.3 и свойства в) теоремы 1.1 следует, что в Т1 -пространстве любое конечное множество замкнуто.

   Теорема 2.4. В каждой окрестности любой предельной точки множества А в Т1 - пространстве (X,Ω) содержится бесконечно много точек из А.

   Доказательство. Пусть х - предельная точка множества А, U(х) - некоторая открытая окрестность точки х. Предположим противное, то есть предположим, что множество B = U(х) А конечно. Тогда множество В\{х} замкнуто как конечное множество Т1 - пространства. Следовательно, множество U1(х) = U(х)\(В\{х}) открыто и содержит точку х. Таким образом, U1(х) - окрестность точки х и U1(х) А = {х}, что противоречит тому, что х - предельная точка множества А.

   Теорема доказана.

   Из теоремы 2.4 следует, что в Т1 - пространстве любое конечное множество не имеет предельных точек.

   Топологическое пространство (X,Ω) называется хаусдорфовым пространством, если оно удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа Т2.

  1. Любое дискретное топологическое пространство хаусдорфово.
  2. Всякое пространство с тривиальной топологией не является хаусдорфовым, если оно содержит не менее двух точек.
  3. Пространство (X,Ω) с топологией конечных дополнений хаусдорфово тогда и только тогда, когда X - конечное множество.
  4. Числовая прямая R1 со стандартной топологией является хаусдорфовым пространством.

   В силу того, что каждое хаусдорфово пространство удовлетворяет аксиоме Т1 из теорем 2.3 и 2.4 вытекают следующие результаты:

  1. В хаусдорфовом пространстве каждое одноточечное множество замкнуто.
  2. В хаусдорфовом пространстве любое конечное множество не имеет предельных точек.