Всякое подмножество топологического пространства может быть наделено естественной топологической структурой. Пусть А - произвольное подмножество топологического пространства (X,Ω). Обозначим через Ω_A совокупность всех подмножеств множества А, которые являются пересечениями открытых множеств пространства X с множеством A:

Ω_А = {U A: U Ω}.

    Теорема 2.1.

    Совокупность Ω_А удовлетворяет аксиомам топологического пространства.

    Доказательство. Аксиома (а) очевидна: множества А и тривиальным образом представляются в виде пересечения открытых множеств пространства X с множеством А: А = Х А, = А. Перейдем к аксиоме (б). Пусть - семейство множеств, принадлежащих совокупности Ω_А, где индекс а пробегает семейство индексов I. Это значит, что каждое множество V_a является пересечением некоторого открытого в X множества U_a с множеством А : V_a = U_a А. Чтобы доказать, что их объединение тоже принадлежит совокупности Ω_А , представим множество в виде пересечения некоторого открытого в X множества с множеством А. Действительно, где множество открыто как объединение нескольких открытых множеств. Для проверки аксиомы (в) рассмотрим семейство множеств , принадлежащих совокупности Ω_А, где индекс а пробегает конечное семейство индексов К. Чтобы доказать, что их пересечение также принадлежит совокупности Ω_А, представим множество в виде пересечения множества А с некоторым открытым в X множеством: где множество () открыто как пересечение конечного числа открытых в X множеств.

   Теорема доказана.

   Итак, мы проверили, что совокупность Ω_А задает топологию на А. Говорят, что топология Ω_А индуцируется топологией Ω, и называют ее индуцированной топологией. Множество А, снабженное индуцированной топологией, называется топологическим подпространством топологического пространства (X,Ω) и обозначается (А,Ω_А), или просто А, если ясно, что речь идет именно об индуцированной топологии на А. Множества, входящие в совокупность Ω_А, называются открытыми в множестве А. Множество G А называется Ω_А замкнутым в множестве А, если его дополнение А\G открыто в А.

   См. пример.

   Пусть (А,Ω_А) - топологическое подпространство пространства (X,Ω), и множество В - подмножество множества А. Тогда может случиться, что В открыто в А и не открыто в X, или В замкнуто в А и не замкнуто в X. Поэтому соотношения между этими различными понятиями важны для нас.

   Теорема 2.2.

    Пусть (А,Ω_А) - топологическое подпространство пространства (X,Ω). Тогда

   1) если множество А открыто в X, то любое подмножество V А, открытое в А, открыто и в X;

   2) если множество А замкнуто в X, то всякое подмножество G А, замкнутое в топологии Ω_А, замкнуто и в топологии Ω.

   Доказательство. Докажем утверждение 1. Пусть множество V А открыто в А. Тогда, по определению, V = U А, где множество и открыто в X. Значит, V является пересечением двух открытых в X множеств и, следовательно, открыто в X.

   Перейдем к утверждению 2. Пусть множество G А замкнуто в А. Тогда множество А\G открыто в А. Это, в свою очередь, означает, что А\G = А U для некоторого множества и, открытого в X. Множество Х\U замкнуто в пространстве X и дает в пересечении с множеством А множество G. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся цепочкой равенств:

G = А\(А\G) = А\(А U) = А (Х\U).

   Таким образом, множество в является пересечением двух замкнутых в X множеств и, следовательно, замкнуто в X.

   Теорема доказана.