Топология. Граница множества. Топологическое пространство. Подмножество топологического пространства. Окрестность точки. Стандартная топология. Край множества. Граничная точка. Внутренняя точка множества. Дополнение множества. Множество всех граничных точек множества называется границей множества

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии



 Дифференциальная геометрия и топология Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.8. Граница множества Назад // Вперед

   Точка х X топологического пространства (X,Ω) называется граничной для данного множества А X, если всякая ее окрестность пересекается и с множеством А, и с его дополнением Х\А.

Множество всех граничных точек множества А называется границей множества А и обозначается А.

   Теорема 1.8.

   Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) А = \Int А.

   Доказательство. Пусть х А; тогда в любой окрестности O(х) точки х найдутся точки х1, х2 такие, что X1 А, х2 Х\А. Тогда х A А' и при этом, не является внутренней точкой множества А. Обратно, пусть х \Int А. Так как х , то в каждой окрестности точки х найдется точка из множества А. Так как х Int А, то каждая окрестность точки х пересекается с Х\А. Таким образом, в каждой окрестности точки х содержатся точки множества А и точки его дополнения Х\А, то есть х А.

   Теорема доказана.

   Приведем примеры А для некоторых множеств А на числовой прямой R1 со стандартной топологией:

  1. Если А = [0,1], то А = {0,1}.
  2. Если А = (0,1], то А = {0,1}.
  3. Если А - множество Z всех целых точек на R1, то А = А.
  4. Если А = ,To A = A {0}.
  5. Если А - множество Q всех рациональных точек на R1, то А = R1. Та часть границы множества А, которая содержится в А, называется краем множества А. То есть край множества А - это множество А\Int А.