Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.8. Граница множества Назад // Вперед

   Точка х X топологического пространства (X,Ω) называется граничной для данного множества А X, если всякая ее окрестность пересекается и с множеством А, и с его дополнением Х\А.

Множество всех граничных точек множества А называется границей множества А и обозначается А.

   Теорема 1.8.

   Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) А = \Int А.

   Доказательство. Пусть х А; тогда в любой окрестности O(х) точки х найдутся точки х1, х2 такие, что X1 А, х2 Х\А. Тогда х A А' и при этом, не является внутренней точкой множества А. Обратно, пусть х \Int А. Так как х , то в каждой окрестности точки х найдется точка из множества А. Так как х Int А, то каждая окрестность точки х пересекается с Х\А. Таким образом, в каждой окрестности точки х содержатся точки множества А и точки его дополнения Х\А, то есть х А.

   Теорема доказана.

   Приведем примеры А для некоторых множеств А на числовой прямой R1 со стандартной топологией:

  1. Если А = [0,1], то А = {0,1}.
  2. Если А = (0,1], то А = {0,1}.
  3. Если А - множество Z всех целых точек на R1, то А = А.
  4. Если А = ,To A = A {0}.
  5. Если А - множество Q всех рациональных точек на R1, то А = R1. Та часть границы множества А, которая содержится в А, называется краем множества А. То есть край множества А - это множество А\Int А.