Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.6. Замыкание множества Назад // Вперед

   Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) можно рассмотреть наименьшее содержащее А замкнутое множество; оно обозначается и называется замыканием множества А.

   Рассмотрим семейство всех замкнутых множеств, содержащих А. Тогда пересечение обладает следующими свойствами:

1) является замкнутым множеством в силу свойства б) теоремы 1.1;

2) , так как для каждого индекса а из семейства индексов I множество А Fα;

3) для любого замкнутого множества F, содержащего множество А, выполняется включение .

Таким образом, замыкание совпадает с пересечением всех содержащих А замкнутых множеств: .

Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.

   Теорема 1.6.

    Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) = A A'.

   Доказательство. По теореме 1.5 множество A А' замкнуто и содержит А, следовательно, по определению, A А'. С другой стороны, любое замкнутое множество, содержащее А, содержит в силу теоремы 1.4 и все предельные точки множества A, то есть множество А'. Значит, и множество содержит А'. Следовательно, A А'. Таким образом, = А А'.

   Теорема доказана.

   Из теорем 1.4 и 1.6 следует утверждение: подмножество А топологического пространства (X,Ω) замкнуто тогда и только тогда, когда А совпадает со своим замыканием, то есть А = .

   Приведем примеры замыканий некоторых множеств на числовой прямой R1 со стандартной топологией:

  1. Если А = (0,1), то = [0,1].
  2. Если А = (0,1], то = [0,1].
  3. Если А - множество Z всех целых точек на R1, то = А.
  4. Если A = , то = A {0}.
  5. Если А - множество Q всех рациональных точек на R1, то = R1.

    Таким образом, замыкание любого множества распадается на точки трех типов: изолированные точки; предельные точки, принадлежащие самому множеству А; и предельные точки, не принадлежащие А.

    Говорят, что подмножество А топологического пространства (X,Ω) всюду плотно в X, если = X.

  1. Пусть Q - множество всех рациональных точек на числовой прямой R1 со стандартной топологией. Так как = R1, то Q всюду плотно на R1.
  2. Пусть (X,Ω) - дискретное топологическое пространство. Тогда единственным всюду плотным множеством является само X.
  3. В антидискретном пространстве (X,Ω) любое множество является всюду плотным в X.