Топология. Окресности. Изолированная точка множества. Топологическое пространство. Система окрестностей точки. Открытые множества топологического пространства. Критерий открытого множества. Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки. Окрестность точки не обязана быть открытым множеством.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии



 Дифференциальная геометрия и топология Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.4. Окресности Назад // Вперед

   Пусть (X,Ω) - топологическое пространство. Подмножество О(х) X, содержащее точку х Х, называется окрестностью точки х, если найдется открытое множество U(x) такое, что х U(x) О(х).

   Из определения окрестности вытекает, что окрестность точки не обязана быть открытым множеством, но всякое открытое множество является окрестностью любой своей точки. Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.

   В дискретном пространстве каждое подмножество является окрестностью любой своей точки. В антидискретном пространстве единственной окрестностью произвольной точки х пространства X является все пространство X. На числовой прямой R1 со стандартной топологией окрестностью точки является любое множество, содержащее некоторый открытый интервал, которому принадлежит рассматриваемая точка.

   Совокупность {(х)} всех окрестностей точки х называется системой окрестностей данной точки. Эта совокупность обладает следующими свойствами:

   1) объединение любого семейства окрестностей точки х есть окрестность точки х;

   2) пересечение конечного числа окрестностей точки х есть окрестность точки х;

   3) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки х, является окрестностью точки х.

   Открытые множества топологического пространства могут быть описаны в терминах окрестностей точек. Критерий открытого множества формулируется в следующем утверждении.

   Теорема 1.3.

   Подмножество А 0 топологического пространства (X,Ω) открыто тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую окрестность каждой своей точки.

   Доказательство.  Если множество А открыто, то каждая точка х из А входит в А вместе с некоторой своей окрестностью; такой окрестностью является само множество А. Обратно, пусть для каждой точки х А существует окрестность О(х), целиком лежащая в А. Тогда по определению окрестности найдется такое открытое множество U(x), что х U(x) О(х). Рассмотрим объединение всех таких множеств и докажем, что . Действительно, если хА, то , следовательно, в силу произвольного выбора точки х получим включение . С другой стороны, множество U(x) А для каждой точки х А и потому . Таким образом, . Теперь для завершения доказательства остается заметить, что множество А будет открытым как объединение семейства открытых множеств.

   Теорема доказана.

   

   Точка х A называется изолированной точкой множества А, если существует окрестность О(х) точки х, не содержащая точек множества А, отличных от х: О(х) А = {х}.

   Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.

   Введем следующее определение топологического пространства в терминах окрестностей точек.

   Топологическое пространство - это множество X, для каждой точки х которого указана непустая система подмножеств {(х)}, называемых окрестностями точки х, удовлетворяющая следующим условиям:

   1) х принадлежит каждой своей окрестности (x);

   2) если множество U X содержит некоторое (x), то U также является окрестностью точки х;

   3) для любых окрестностей , точки х их пересечение также является окрестностью точки х;

   4) для всякой окрестности (x) точки х найдется такая окрестность , которая является окрестностью каждой своей точки.