Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.4. Окресности Назад // Вперед

   Пусть (X,Ω) - топологическое пространство. Подмножество О(х) X, содержащее точку х Х, называется окрестностью точки х, если найдется открытое множество U(x) такое, что х U(x) О(х).

   Из определения окрестности вытекает, что окрестность точки не обязана быть открытым множеством, но всякое открытое множество является окрестностью любой своей точки. Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.

   В дискретном пространстве каждое подмножество является окрестностью любой своей точки. В антидискретном пространстве единственной окрестностью произвольной точки х пространства X является все пространство X. На числовой прямой R1 со стандартной топологией окрестностью точки является любое множество, содержащее некоторый открытый интервал, которому принадлежит рассматриваемая точка.

   Совокупность {(х)} всех окрестностей точки х называется системой окрестностей данной точки. Эта совокупность обладает следующими свойствами:

   1) объединение любого семейства окрестностей точки х есть окрестность точки х;

   2) пересечение конечного числа окрестностей точки х есть окрестность точки х;

   3) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки х, является окрестностью точки х.

   Открытые множества топологического пространства могут быть описаны в терминах окрестностей точек. Критерий открытого множества формулируется в следующем утверждении.

   Теорема 1.3.

   Подмножество А 0 топологического пространства (X,Ω) открыто тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую окрестность каждой своей точки.

   Доказательство.  Если множество А открыто, то каждая точка х из А входит в А вместе с некоторой своей окрестностью; такой окрестностью является само множество А. Обратно, пусть для каждой точки х А существует окрестность О(х), целиком лежащая в А. Тогда по определению окрестности найдется такое открытое множество U(x), что х U(x) О(х). Рассмотрим объединение всех таких множеств и докажем, что . Действительно, если хА, то , следовательно, в силу произвольного выбора точки х получим включение . С другой стороны, множество U(x) А для каждой точки х А и потому . Таким образом, . Теперь для завершения доказательства остается заметить, что множество А будет открытым как объединение семейства открытых множеств.

   Теорема доказана.

   

   Точка х A называется изолированной точкой множества А, если существует окрестность О(х) точки х, не содержащая точек множества А, отличных от х: О(х) А = {х}.

   Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.

   Введем следующее определение топологического пространства в терминах окрестностей точек.

   Топологическое пространство - это множество X, для каждой точки х которого указана непустая система подмножеств {(х)}, называемых окрестностями точки х, удовлетворяющая следующим условиям:

   1) х принадлежит каждой своей окрестности (x);

   2) если множество U X содержит некоторое (x), то U также является окрестностью точки х;

   3) для любых окрестностей , точки х их пересечение также является окрестностью точки х;

   4) для всякой окрестности (x) точки х найдется такая окрестность , которая является окрестностью каждой своей точки.