Bodrenko.com Bodrenko.org
§1.2. Замкнутые множества. Назад // Вперед

   Дополнения открытых множеств топологического пространства (X,Ω) имеют специальное название.

   Множество F X называется замкнутым в пространстве (X,Ω), если его дополнение X\F открыто, то есть X\F Ω.

   Приведем примеры замкнутых множеств.

    1. В дискретном пространстве все множества замкнуты.
    2. В антидискретном пространстве только два замкнутых множества: пустое множество и все пространство.
    3. На числовой прямой R1 со стандартной топологией любой отрезок [а,b] является замкнутым множеством в R1.
    4. В пространстве X с топологией конечных дополнений замкнуты пустое множество , множество X и все конечные множества.
    5. В стрелке замкнуты пустое множество , весь луч [0,+∞) и отрезки вида [0,а], где а 0.

   На примерах дискретного и антидискретного пространств видно, что множество может быть одновременно открытым и замкнутым, а может не быть ни замкнутым, ни открытым. Так, в антидискретном пространстве любое непустое множество, не совпадающее с самим пространством X, не является открытым множеством и не является замкнутым множеством.

   Из аксиом топологического пространства и теоретико-множественных результатов о дополнениях пересечений и объединений вытекаю следующие свойства замкнутых множеств.

   Теорема 1.1.

   а) пустое множество и все множество X замкнуты;

   б) пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто;

   в) объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

   Важные различия между свойствами замкнутых и открытых множеств состоят в том, что пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно открыто, а пересечение бесконечного семейства замкнутых множеств всегда замкнуто; в то же время объединение бесконечного семейства замкнутых множеств не обязательно замкнуто, а объединение бесконечного семейства открытых множеств всегда открыто. Например, на числовой прямой R1 имеем:

   Свойства а) - в) в теореме 1.1 полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства (X ,Ω), а, следовательно, и топологию Ω (так как множества, составляющие совокупность Ω - это дополнения замкнутых множеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на X можно задать, указав совокупность {Fa} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам а) - в) теоремы 1.1; тогда топологией Ω на X будет совокупность {X\Fa}.