Дополнения открытых множеств топологического пространства (X,Ω) имеют специальное название.
Множество F X называется замкнутым в пространстве (X,Ω), если его дополнение X\F открыто,
то есть X\F Ω.
Приведем примеры замкнутых множеств.
- В дискретном пространстве все множества замкнуты.
- В антидискретном пространстве только два замкнутых множества: пустое множество
и все пространство.
- На числовой прямой
R1 со стандартной топологией любой отрезок
[а,b] является замкнутым множеством в R1.
- В пространстве X с топологией конечных дополнений замкнуты пустое множество
, множество X и все конечные множества.
- В стрелке замкнуты пустое множество
, весь луч [0,+∞) и отрезки вида [0,а], где а
0.
На примерах дискретного и антидискретного пространств видно, что множество может быть одновременно
открытым и замкнутым, а может не быть ни замкнутым, ни открытым. Так, в антидискретном пространстве любое непустое множество,
не совпадающее с самим пространством X, не является открытым множеством и не является замкнутым множеством.
Из аксиом топологического пространства и теоретико-множественных результатов о дополнениях пересечений
и объединений вытекаю следующие свойства замкнутых множеств.
Теорема 1.1.
а) пустое множество
и все множество X замкнуты;
б) пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто;
в) объединение любого конечного числа замкнутых множеств
замкнуто.
Важные различия между свойствами замкнутых и открытых множеств состоят в том, что пересечение бесконечного
семейства открытых множеств не обязательно открыто, а пересечение бесконечного семейства замкнутых множеств всегда замкнуто;
в то же время объединение бесконечного семейства замкнутых множеств не обязательно замкнуто, а объединение бесконечного семейства
открытых множеств всегда открыто. Например, на числовой прямой
R1 имеем:
Свойства а) - в) в теореме 1.1 полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства
(X ,Ω), а, следовательно, и топологию Ω (так как множества, составляющие совокупность Ω - это дополнения
замкнутых множеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на X можно
задать, указав совокупность {Fa} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам
а) - в) теоремы 1.1; тогда топологией Ω на X будет совокупность {X\Fa}.
|