Пусть (Х,Ω_X) и (Y,Ω_Y) - топологичские пространства, а f: X Y - отображение множеств. Для каждого множества V из Y определяется его полный прообраз f^-1(V) есть совокупность всех тех элементов из Х, образы которых принадлежат V.

    Говорят, что f - непрерывное отображение топологических пространств, если полный прообраз f^-1(V) любого открытого множества V топологического пространства (Y,Ω_Y) является открытым множеством топологического пространства (Х,Ω_X), то есть если f^-1(V) Ω_X для любого V Ω_Y.

1. Тождественное отображение любого топологического пространства Х в себя непрерывно. Оно обозначается id_x: id_x X → X, x → x.
2. Всякое постоянное отображение f: X Y непрерывно. Пусть X, Y - топологические пространства, y₀ Y - точка, а f - постоянное отображение: f(x) = y₀ для любой точки х Х. Тогда полный прообраз f^-1(V) любого открытого множества V Y совпадает с Х, если V содержит точку y₀, f^-1(V) = в потивном случае.
3. Отображение включения в топологическое пространство X любого его подпространства А является непрерывным. Оно обозначается через in_A: in_A A X, a a. При отображении включения полный прообраз любого множества В X совпадает с пересечением этого множества и подпространства А: in_A^-1(B) = B A. Поэтому полный прообраз любого открытого множества в X открыт в подпространстве А по определению индуцированной топологии в А.

    Постоянное отображение f : X Y всегда непрерывно, какова бы ни была топология в X или в Y. В то же время, топология в X может быть такой, что кроме постоянного отображения f : X R¹ никаких других непрерывных отображений нет.

   См. пример.

   Отображение f : X Y называется непрерывным в точке x₀ Х, если для всякой окрестности O(f(x₀)) образа f(x_o) этой точки существует окрестность О(х₀) самой точки х₀, образ которой содержится в выбранной окрестности O(f(x₀)): f(O(x₀)) O(f(x₀)).

   Теорема 1.12.

    Отображение f: X Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства X.

   Доказательство. Пусть отображение f непрерывно в целом, а х₀ Х -произвольная точка. Проверим определение непрерывности в точке. Пусть O(f(x₀)) - произвольная окрестность точки f(x₀). Тогда найдется открытое множество V Y такое, что V O(f(x₀)) и f(x₀) V. Положим U = f^-1(V). Тогда U открыто в силу непрерывности отображения f, и x₀ U. Следовательно, U - окрестность точки х₀ и f(U) = V O(f(x₀)), что и доказывает непрерывность f в точке х₀.

   Докажем обратное утверждение. Пусть f непрерывно в каждой точке х Х. Пусть V Y - произвольное открытое множество и пусть U = f^-1(V). Так как V является окрестностью каждой своей точки, и f непрерывно в каждой точке, то для каждой точки х U найдется окрестность О(х) такая, что f(О(х)) V. Следовательно, О(х) U, что и доказывает открытость U. Непрерывность f доказана.

   Теорема доказана.