Bodrenko.com Bodrenko.org
§ 1.10. Непрерывные отображения Назад // Вперед

    Пусть (Х,ΩX) и (Y,ΩY) - топологичские пространства, а f: X Y - отображение множеств. Для каждого множества V из Y определяется его полный прообраз f-1(V) есть совокупность всех тех элементов из Х, образы которых принадлежат V.

    Говорят, что f - непрерывное отображение топологических пространств, если полный прообраз f-1(V) любого открытого множества V топологического пространства (Y,ΩY) является открытым множеством топологического пространства (Х,ΩX), то есть если f-1(V) ΩX для любого V ΩY.

  1. Тождественное отображение любого топологического пространства Х в себя непрерывно. Оно обозначается idx:
    idx X → X, x → x.
  2. Всякое постоянное отображение f: X Y непрерывно. Пусть X, Y - топологические пространства, y0 Y - точка, а f - постоянное отображение: f(x) = y0 для любой точки х Х. Тогда полный прообраз f-1(V) любого открытого множества V Y совпадает с Х, если V содержит точку y0, f-1(V) = в потивном случае.
  3. Отображение включения в топологическое пространство X любого его подпространства А является непрерывным. Оно обозначается через inA:
    inA A X, a a.
    При отображении включения полный прообраз любого множества В X совпадает с пересечением этого множества и подпространства А: inA-1(B) = B A. Поэтому полный прообраз любого открытого множества в X открыт в подпространстве А по определению индуцированной топологии в А.

    Постоянное отображение f : X Y всегда непрерывно, какова бы ни была топология в X или в Y. В то же время, топология в X может быть такой, что кроме постоянного отображения f : X R1 никаких других непрерывных отображений нет.

   См. пример.

   Отображение f : X Y называется непрерывным в точке x0 Х, если для всякой окрестности O(f(x0)) образа f(xo) этой точки существует окрестность О(х0) самой точки х0, образ которой содержится в выбранной окрестности O(f(x0)): f(O(x0)) O(f(x0)).

   Теорема 1.12.

    Отображение f: X Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства X.

   Доказательство. Пусть отображение f непрерывно в целом, а х0 Х -произвольная точка. Проверим определение непрерывности в точке. Пусть O(f(x0)) - произвольная окрестность точки f(x0). Тогда найдется открытое множество V Y такое, что V O(f(x0)) и f(x0) V. Положим U = f-1(V). Тогда U открыто в силу непрерывности отображения f, и x0 U. Следовательно, U - окрестность точки х0 и f(U) = V O(f(x0)), что и доказывает непрерывность f в точке х0.

   Докажем обратное утверждение. Пусть f непрерывно в каждой точке х Х. Пусть V Y - произвольное открытое множество и пусть U = f-1(V). Так как V является окрестностью каждой своей точки, и f непрерывно в каждой точке, то для каждой точки х U найдется окрестность О(х) такая, что f(О(х)) V. Следовательно, О(х) U, что и доказывает открытость U. Непрерывность f доказана.

   Теорема доказана.