Bodrenko.com Bodrenko.org
§3.7 Изометричные поверхности. Изгибания Назад

    Покажем, что на регулярных изометричных поверхностях Ф1 и Ф2 можно ввести единую параметризацию, в которой Ф1 и Ф2 имеют тождественные соответствующие коэффициенты первых квадратичных форм.

   В некоторой окрестности Ω точки X ∈ Ф1 введем полугеодезические координаты х, у, в которых геодезическими будут линии λ0: х = 0 и ly: у = const. Окрестность Ω можно выбрать столь малой, что λ0 и ly являются кратчайшими. Поскольку f—изометрия, то линии f(λ0) и f(ly) будут кратчайшими. Так как поверхность Ф2 регулярна, то кратчайшие f(λ0) и f(ly) регулярны. Линии λ0 и ly ортогональны. Покажем, что f(λ0) и (ly) также ортогональны. Пусть А —точка пересечения λ0 и ly0, а точка В ∈ ly0. Тогда длина дуги АВ равна расстоянию от В до λ0. В силу изометрии расстояние отточки f(В) ∈ f(ly0) до f(λ0) равно длине дуги f(A) f(В) — кратчайшей f(ly0). Поэтому кратчайшие f(λ0) и f(ly0) ортогональны, иначе расстояние от f(В) до f(λ0) можно было бы сократить. В силу изометрии эквидистанты х = const на поверхности Ф1 перейдут в эквидистанты линии f(λ0) на поверхности Ф2. Таким образом, регулярная полугеодезическая сеть на поверхности Ф1 перешла при изометрии f в полугеодезическую сеть на Ф2. Поскольку поверхность Ф2 регулярна, то эта сеть регулярна. Таким образом, поверхность Ф1 задается регулярной вектор-функцией r = r(х, y), а Ф2 — регулярной вектор-функцией ρ = ρ(х, у), где точка (х, у) ∈ Ω.

   Пусть s(х, у) — естественный параметр линии х = const. Тогда G (х, у) = ds/dy и, следовательно, одинаково в соответствующих точках на Ф1 и Ф2, поскольку длины соответствующих дуг на кривых х = const равны. Поэтому r2y(х, у) = ρ2y(х, у) = G(х, у). Если теперь на поверхности Ф1 взять произвольные координаты u, v в окрестности точки X, то, в силу изометрии f, их можно рассматривать как внутренние координаты на Ф2, считая, что соответствующие по изометрии точки имеют одинаковые координаты. Поскольку переход от координат х, у к координатам u, v есть диффеоморфизм в силу регулярности Ф1 то u, v определяют регулярную параметризацию и поверхности Ф2. Очевидно, что при этом соответствующие коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей Ф1 и Ф2 получаются из G(х, у) по одним и тем же формулам (см. п. 9.7) и потому совпадают. Итак,

Е = r²u(u, v) = ρ²u(u, v); F = (ru, rv) = (ρu, ρv); G = r²v = ρ²v. (3.109)

   Если поверхности Ф1 и Ф2 изометричны, то говорят, что одна из них получена изгибанием, другой.

   Пусть дано однопараметрическое семейство поверхностей Фt заданных вектор-функциями

r = r(u, v; t), (3.110)

где (u, v) — точка некоторой области D плоскости u, v, а t ∈ [0, 1]. Поверхность Фt называется деформацией поверхности Ф0.

   Если при каждом t ∈ [0, 1] функция r(u, v; t0) ∈ Ck(D), то говорят, что деформация совершается в классе Ck - поверхностей (k ≥ 1). Если, кроме того, функции r(u, v; t), ru(u, v; t), rv(u, v; t) непрерывны в D × [0, 1], то деформация называется равномерно гладкой. В этом случае поверхности Фt сходятся к Фt0 вместе с касательными плоскостями, когда t → t0.

   Иногда к функции г (u, v; t) предъявляют и более высокие требования регулярности, вплоть до аналитичности. Термин «деформация» заменяется термином «изгибание» во введенных выше понятиях, если при всех t ∈ [0, 1] поверхности Фt изометричны между собой.