Покажем, что на регулярных изометричных поверхностях Ф₁ и Ф₂ можно ввести единую параметризацию, в которой Ф₁ и Ф₂ имеют тождественные соответствующие коэффициенты первых квадратичных форм.

   В некоторой окрестности Ω точки X ∈ Ф₁ введем полугеодезические координаты х, у, в которых геодезическими будут линии λ₀: х = 0 и l_y: у = const. Окрестность Ω можно выбрать столь малой, что λ₀ и l_y являются кратчайшими. Поскольку f—изометрия, то линии f(λ₀) и f(l_y) будут кратчайшими. Так как поверхность Ф₂ регулярна, то кратчайшие f(λ₀) и f(l_y) регулярны. Линии λ₀ и l_y ортогональны. Покажем, что f(λ₀) и (l_y) также ортогональны. Пусть А —точка пересечения λ₀ и l_y0, а точка В ∈ l_y0. Тогда длина дуги АВ равна расстоянию от В до λ₀. В силу изометрии расстояние отточки f(В) ∈ f(l_y0) до f(λ₀) равно длине дуги f(A) f(В) — кратчайшей f(l_y0). Поэтому кратчайшие f(λ₀) и f(l_y0) ортогональны, иначе расстояние от f(В) до f(λ₀) можно было бы сократить. В силу изометрии эквидистанты х = const на поверхности Ф₁ перейдут в эквидистанты линии f(λ₀) на поверхности Ф₂. Таким образом, регулярная полугеодезическая сеть на поверхности Ф₁ перешла при изометрии f в полугеодезическую сеть на Ф₂. Поскольку поверхность Ф₂ регулярна, то эта сеть регулярна. Таким образом, поверхность Ф₁ задается регулярной вектор-функцией r = r(х, y), а Ф₂ — регулярной вектор-функцией ρ = ρ(х, у), где точка (х, у) ∈ Ω.

   Пусть s(х, у) — естественный параметр линии х = const. Тогда G (х, у) = ds/dy и, следовательно, одинаково в соответствующих точках на Ф₁ и Ф₂, поскольку длины соответствующих дуг на кривых х = const равны. Поэтому r²_y(х, у) = ρ²_y(х, у) = G(х, у). Если теперь на поверхности Ф₁ взять произвольные координаты u, v в окрестности точки X, то, в силу изометрии f, их можно рассматривать как внутренние координаты на Ф₂, считая, что соответствующие по изометрии точки имеют одинаковые координаты. Поскольку переход от координат х, у к координатам u, v есть диффеоморфизм в силу регулярности Ф₁ то u, v определяют регулярную параметризацию и поверхности Ф₂. Очевидно, что при этом соответствующие коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей Ф₁ и Ф₂ получаются из G(х, у) по одним и тем же формулам (см. п. 9.7) и потому совпадают. Итак,

   Если поверхности Ф₁ и Ф₂ изометричны, то говорят, что одна из них получена изгибанием, другой.

   Пусть дано однопараметрическое семейство поверхностей Ф_t заданных вектор-функциями

где (u, v) — точка некоторой области D плоскости u, v, а t ∈ [0, 1]. Поверхность Ф_t называется деформацией поверхности Ф₀.

   Если при каждом t ∈ [0, 1] функция r(u, v; t₀) ∈ C^k(D), то говорят, что деформация совершается в классе C^k - поверхностей (k ≥ 1). Если, кроме того, функции r(u, v; t), r_u(u, v; t), r_v(u, v; t) непрерывны в D × [0, 1], то деформация называется равномерно гладкой. В этом случае поверхности Ф_t сходятся к Ф_t0 вместе с касательными плоскостями, когда t → t₀.

   Иногда к функции г (u, v; t) предъявляют и более высокие требования регулярности, вплоть до аналитичности. Термин «деформация» заменяется термином «изгибание» во введенных выше понятиях, если при всех t ∈ [0, 1] поверхности Ф_t изометричны между собой.