Bodrenko.com Bodrenko.org
§3.6 Теорема Гаусса — Бонне Назад // Вперед

    Пусть Q — жорданова область на регулярной поверхности Ф, ограниченная кусочнорегулярной кривой γ, ориентация которой индуцирована ориентацией области Q.

    Пусть кривая γ разбита точками A1, A2, ..., An+1 = A 1 на n регулярных дуг γ1, ..., γn, причем дуга γ имеет начало в точке Ai, а конец в точке Ai+1. Обозначим через βi угол между дугами γi-1, γi в точке Ai, измеренный со стороны Q. Тогда имеет место следующая

   Теорема 4 (К. Гаусс — О. Бонне)

    (3.88)

где K — гауссова кривизна, dσ — элемент площади на Ф, kg — геодезическая кривизна в регулярной точке кривой γ и ds — элемент длины кривой γ.

   Замечание. Пусть L — кусочно-регулярная кривая на поверхности Ф, состоящая из регулярных дуг γ1 ..., γn с концами в точках A0, ..., An. Обозначим через αi ориентированный угол в точке Ai, между направляющими векторами дуг γi и γi+1 в этой точке. Величину

    (3.89)

назовем поворотом кривой L. Напомним, что величина π - αi есть поворот τ(Ai) кривой L в точке Ai. Если L замкнута, то в определении τ(L) берется сумма поворотов всех угловых точек кривой L. Отметим, что если через —L обозначить кривую L с противоположной ориентацией, то τ(—L) = —τ(L). Кроме того, τ(L) аддитивна в следующем смысле: если точка A разбивает кривую L на дуги L1 и L2, то τ(L) = τ(L1) + τ(A) + τ(L2). В введенных обозначениях формула (3.88) принимает вид

    (3.90)

   Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай, когда на области Q можно в целом ввести полугеодезические координаты u, v. На Q определено непрерывное невырожденное векторное поле ru. Через α(s) обозначим угловую функцию поля ru на цикле γ относительно подвижного репера t, ng (см. рис. 1).

(рис. 1)

В точках Аi функция α(s) имеет скачки —(π — βi). В силу теоремы 5, приращение θ(ru, γ) угловой функции α(s) на цикле γ равно — 2π, С другой стороны,

(3.91)

Поскольку соs(α(s)) = (ru, t), то

(3.92)

Используя формулы (3.46) и (3.84) и замечая, что

получаем из (3.92)

    (3.93)

Подставляя (3.93) в (3.91), получаем

    (3.94)

где γ'i — прообраз дуги γi в области параметров u, v. Через Q' обозначим прообраз Q в области параметров u, v. Применяя к первому слагаемому правой части (3.94) формулу Грина и учитывая (3.85), получаем

 (3.95)

Подставляя (3.95) в (3.93), получаем (3.88).

   2) Пусть теперь Q — произвольная область на Ф. Покроем Q" конечным числом односвязных областей Qi таких, что 1) каждая Qi ограничена кусочно-гладким контуром ∂Qi; 2) на Qi в целом можно ввести полугеодезические координаты и 3) каждый контур ∂Qi пересекает не более чем в конечном числе точек как контур ∂Q, так и любой другой контур ∂Qj. В области Q рассмотрим все точки A1, ..., Аp пересечения контуров ∂Qi и точки Аp+1, ..., Ap+q пересечения ∂Q с ∂Qi. Через λ1, ..., λs обозначим всевозможные дуги с вершинами Ai лежащими в Q. Через λs+1, ..., λs+q обозначим дуги, на которые точки B1, ..., Bq разбивают ∂Q. Сеть с вершинами A1, ..., Аp, B1, ..., Bq и дугами λ1, ..., λs, λs+1, ..., λs+q разбивает Q" на односвязные области U1, ..., Uf. В силу теоремы Эйлера

(p + q) - (s + q) + f = l. (3.96)

   Для каждой области Ui верна формула (3.88). Обозначим через ki число ребер, сходящихся в вершине Ai (i = 1, ..., р + q), а через αj — угол в вершине Аj (j = р + 1, ..., р + q) контура ∂Q со стороны области Q. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, то

 (3.97)

Сумма поворотов областей Ui в каждой внутренней вершине Ai (l = 1, ..., р) равна —2π + πkl, а в каждой граничной вершине Аi (l = р + 1, ..., р + q) равна —αi + π(ki - 1).

   Так как повороты на общей дуге двух соседних областей Ui в сумме равны нулю, то, учитывая (3.97), имеем

 (3.98)

В силу (3.88) получим

 (3.99)

Из (3.98) и (3.99) получаем

2πs - 2πp + τ(∂Q) = 2πf - QK dσ.  (3.100)

Поскольку, в силу (3.96), р — s + f = 1, то

QK dσ - τ(∂Q) = 2π, (3.101)

что и требовалось доказать.

   Для многосвязной области Q ⊂ Ф, граница которой ∂Q состоит из конечного числа кусочно-регулярных циклов, теорема Гаусса — Бонне формулируется следующим образом:

QK dσ - τ(∂Q) = 2πχ(Q), (3.102)

где χ(Q) — эйлерова характеристика области Q.

   Доказательство (3.102) сводится к разбиению области Q на односвязные и применению формулы (3.90). Читатель может легко провести его сам.

   Если Ф — замкнутая поверхность и Q = Ф, то ∂Q = ∅ и из (3.102) получаем

QK dσ = 2πχ(Ф), (3.103)

   Отметим несколько следствий из теоремы Гаусса — Бонне.

   1) Если Т — геодезический треугольник на Ф с углами α, β, γ, то

QK dσ = α + β + γ - π, (3.104)

   В правой части (3.104) стоит избыток δ(Т) треугольника Т. С помощью понятия избытка треугольника определяется кривизна множеств в двумерных многообразиях ограниченной кривизны. Равенство (3.104) показывает, что регулярная поверхность Ф является многообразием неотрицательной (неположительной) кривизны тогда и только тогда, когда K ≥ 0 (K ≤ 0) всюду на Ф. В частности, если Ф — поверхность постоянной кривизны K = K0 = const, то

δ(T) = K0σ(T)  (3.105)

что выражает известную связь между избытком и площадью треугольника в сферической геометрии при K0 > 0 и геометрии Лобачевского при K0 < 0.

   2) Докажем теперь, что величина τ(L), введенная выше в замечании к теореме Гаусса — Бонне, есть поворот кривой L в смысле А. Д. Александрова.

   Пусть L — простая кусочно-регулярная дуга на поверхности Ф с концами в точках А, В. Рассмотрим простые ломаные λ ⊂ Ф с концами в точках А, В, звеньями которых являются кратчайшие.

   Пусть ломаные λ не пересекают L во внутренних точках, лежат с одной стороны от L и сходятся к L. Применяя к областям Q, ограниченным L и λ, теорему Гаусса — Бонне, получим

τ(L) = ∑i(π - φi) + α + β - QK dσ (3.106)

где α, β — углы между L и λ в точках А и В соответственно, а φi — углы ломаной λ со стороны, противоположной области Q. Переходя в равенстве (3.106) к пределу при λ → L и замечая, что

Limλ→LQK dσ = 0 (3.107)

получаем, что τ(L) есть поворот кривой L в смысле А. Д. Александрова.

   3) Из предыдущего следствия теоремы Гаусса — Бонне вытекает, что внутренняя кривизна ω(Q) области Q регулярной поверхности Ф в смысле А. Д. Александрова равна QK dσ.

   Из 1) легко получить теорему Гаусса — Бонне для неориентируемых замкнутых поверхностей Ф. Можно разбить Ф на достаточно малые геодезические треугольники. Суммируя теперь избытки этих треугольников, так же как и при доказательстве теоремы 4 получаем равенство

ω(Ф) = 2πχ(Ф). (3.108)

Из доказательств видно, что результаты этого пункта справедливы в любом регулярном двумерном римановом многообразии.