Bodrenko.com Bodrenko.org
§3.5 Основные факты внутренней геометрии поверхности Назад // Вперед

   К внутренней геометрии относятся длина кривой, угол между кривыми на поверхности, площади областей на поверхности.

   Гауссова кривизна поверхности есть объект внутренней геометрии. Из уравнений (3.49) следует, что к внутренней геометрии относятся и коэффициенты Кристоффеля Гkij. Покажем, что геодезическая кривизна kg кривой L ⊂ Ф также есть объект внутренней геометрии. Действительно, пусть кривая L задана уравнениями u = u(t), v = v(t). Тогда

(3.80)

Заменяя ruu, ruv, rvv по формулам (3.46) и подставляя (3.80) в (3.21), получаем

(3.81)

где

(3.82)

   Поскольку геодезическая кривизна кривой принадлежит к внутренней геометрии, то и геодезические линии, вдоль которых kg = 0, принадлежат к внутренней геометрии. Через каждую точку на регулярной поверхности в каждом направлении проходит ровно одна геодезическая линия. Геодезические линии обладают следующим экстремальным свойством: каждая точка X геодезической линии L имеет такую окрестность Ω, в которой для любых двух точек Y, Z ∈ L дуга кривой L с концами в Y и Z является кратчайшей.

   Среди различных координатных сетей на регулярной поверхности важную роль играет так называемая полугеодезическая сеть. Она строится следующим образом. На поверхности Ф возьмем произвольную регулярную кривую L0. Пусть v — некоторый параметр кривой на L0. Через каждую точку X(v) ∈ L0 проведем на Ф геодезическую λv, ортогональную к L0. В силу регулярности поверхности Ф и кривой L0 геодезические λv покрывают некоторую окрестность Ω кривой L0, причем λv' ∩ λv" ≠ 0 в Ω при v' ≠ v". Пусть u — естественный параметр на кривых λv, причем u = 0 в точках X(0, v) = L0 ∩ λv. Обозначим через X(u, v) точку геодезической λv, имеющей на λv параметр и. Введенные таким образом в Ω &sab; Ф координаты u, v называются полугеодезическими. В этой системе одно семейство координатных линий, а именно линий и, состоит из геодезических линий λv. Другое семейство координатных линий, линий v, состоит из эквидистант Lu, ортогональных ко всем линиям λv.

   Из условия ортогональности координатных линий следует, что F ≡ 0. Так как на кривых Lv параметр u естественный, то Е ≡ 1. Поэтому в полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид

I = du2 + G(u, v)dv2<.sup>. (3.83)

В этом случае из уравнений (3.49) вытекает, что

(3.84)

а из формулы Гаусса A2.7) следует, что

(3.85)

Если на кривой Lo параметр v естественный, то

G(0, v) ≡ 1 и Gv ≡ 0. (3.86)

   Если, кроме того, кривая L0 геодезическая, то из формул (3.81),

(3.82), (3.84) вытекает, что

Gu(0, v) ≡ 0 (3.87)

Примерами полугеодезических сетей являются декартовы и полярные координаты на плоскости и семейство параллелей и меридианов на поверхности вращения.