К внутренней геометрии относятся длина кривой, угол между кривыми на поверхности, площади областей на поверхности.

   Гауссова кривизна поверхности есть объект внутренней геометрии. Из уравнений (3.49) следует, что к внутренней геометрии относятся и коэффициенты Кристоффеля Г^k_ij. Покажем, что геодезическая кривизна k_g кривой L ⊂ Ф также есть объект внутренней геометрии. Действительно, пусть кривая L задана уравнениями u = u(t), v = v(t). Тогда

(3.80)

Заменяя r_uu, r_uv, r_vv по формулам (3.46) и подставляя (3.80) в (3.21), получаем

(3.81)

где

(3.82)

   Поскольку геодезическая кривизна кривой принадлежит к внутренней геометрии, то и геодезические линии, вдоль которых k_g = 0, принадлежат к внутренней геометрии. Через каждую точку на регулярной поверхности в каждом направлении проходит ровно одна геодезическая линия. Геодезические линии обладают следующим экстремальным свойством: каждая точка X геодезической линии L имеет такую окрестность Ω, в которой для любых двух точек Y, Z ∈ L дуга кривой L с концами в Y и Z является кратчайшей.

   Среди различных координатных сетей на регулярной поверхности важную роль играет так называемая полугеодезическая сеть. Она строится следующим образом. На поверхности Ф возьмем произвольную регулярную кривую L₀. Пусть v — некоторый параметр кривой на L₀. Через каждую точку X(v) ∈ L₀ проведем на Ф геодезическую λ_v, ортогональную к L₀. В силу регулярности поверхности Ф и кривой L₀ геодезические λ_v покрывают некоторую окрестность Ω кривой L₀, причем λ_v' ∩ λ_v" ≠ 0 в Ω при v' ≠ v". Пусть u — естественный параметр на кривых λ_v, причем u = 0 в точках X(0, v) = L₀ ∩ λ_v. Обозначим через X(u, v) точку геодезической λ_v, имеющей на λ_v параметр и. Введенные таким образом в Ω &sab; Ф координаты u, v называются полугеодезическими. В этой системе одно семейство координатных линий, а именно линий и, состоит из геодезических линий λ_v. Другое семейство координатных линий, линий v, состоит из эквидистант L_u, ортогональных ко всем линиям λ_v.

   Из условия ортогональности координатных линий следует, что F ≡ 0. Так как на кривых L_v параметр u естественный, то Е ≡ 1. Поэтому в полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид

В этом случае из уравнений (3.49) вытекает, что

(3.84)

а из формулы Гаусса A2.7) следует, что

(3.85)

Если на кривой Lo параметр v естественный, то

   Если, кроме того, кривая L₀ геодезическая, то из формул (3.81),

(3.82), (3.84) вытекает, что

Примерами полугеодезических сетей являются декартовы и полярные координаты на плоскости и семейство параллелей и меридианов на поверхности вращения.