Bodrenko.com Bodrenko.org
§3.4 Уравнение Дарбу Назад // Вперед

   Пусть поверхность Ф класса Сk(k ≥ 2) в E3 задана вектор-функцией r = r(u, v) в области D ⊂ R2. Будем считать, что в E3 введены декартовы координаты х, y, r, и пусть k — орт оси z. Каждая из координат вектора r(u, v) = {х(u, v), y(u, v), r(u, v)} удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению. Выведем его, например, для функции r(u, v).

   Очевидно, z(u, v) = (r(u, v), k). Тогда zu = (ru, k), zv = (rv, k), zuu = (ruu, k), zuv = (ruv, k), zvv = (rvv, k),

   Пользуясь деривационными формулами (3.46), получаем

   (3.70)

Если ввести обозначения

   (3.71)

то из (3.70) и (3.71) получаем

z11 = L(ν, k), z12 = M(ν, k), z22 = N(ν, k).   (3.72)

Имеем

  (3.73)

где величина Δ1z называется первым дифференциальным парамет- параметром Бельтрами. Из (3.72) и (3.73) получаем

   (3.74)

Из равенств (3.74) и формулы (3.42) для гауссовой кривизны K, получаем уравнение Дарбу

z11z22 - z212 = K(EG - F2)(1 - Δ1z)    (3.75)

   Пусть теперь регулярная поверхность Ф ⊂ E3 однозначно проектируется на сферу S2 из ее центра О. Пусть, как и раньше, x(u, v), y(u, v), z(u, v) — декартовы координаты произвольной точки X ∈ Ф. Введем в рассмотрение функцию p = r2/2, где r = ОХ. Имеем рu = (r, ru), puu = r2u + (r, ruu) = Е + Г111ρu + Г211ρv + L(r, ν), откуда

ρ11 - E = L(r, ν)    (3.76)

где ρ11 = ρuu - Г111ρu - Г211ρv.

   Аналогично

ρ12 - F = M(r, ν), ρ22 - G = N(r, ν)    (3.77)

Нетрудно проверить, что

(r, ν)2 = 2ρ — Δ1ρ    (3.78)

В результате мы приходим к следующему уравнению Дарбу для функции ρ:

11 - Е)(ρ22 - G) - (ρ12 - F)2 = K(EG - F2)(2ρ - Δ1ρ), (3.79)

причем из (3.78) получаем, что 2ρ - Δ1ρ > 0.