|
Пусть поверхность Ф класса Сk(k ≥ 2)
в E3 задана вектор-функцией r = r(u, v) в области D ⊂ R2.
Будем считать, что в E3 введены декартовы координаты х, y, r, и
пусть k — орт оси z. Каждая из координат вектора r(u, v) = {х(u, v), y(u, v), r(u, v)}
удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению. Выведем его, например, для функции r(u, v).
Очевидно, z(u, v) = (r(u, v), k). Тогда zu = (ru, k),
zv = (rv, k), zuu = (ruu, k), zuv = (ruv, k), zvv = (rvv, k),
Пользуясь деривационными формулами (3.46), получаем
 (3.70)
Если ввести обозначения
 (3.71)
то из (3.70) и (3.71) получаем
z11 = L(ν, k), z12 = M(ν, k), z22 = N(ν, k). (3.72)
Имеем
 (3.73)
где величина Δ1z называется первым дифференциальным парамет-
параметром Бельтрами. Из (3.72) и (3.73) получаем
 (3.74)
Из равенств (3.74) и формулы (3.42) для гауссовой кривизны K, получаем уравнение Дарбу
z11z22 - z212 = K(EG - F2)(1 - Δ1z) (3.75)
Пусть теперь регулярная поверхность Ф ⊂ E3 однозначно
проектируется на сферу S2 из ее центра О. Пусть, как и раньше,
x(u, v), y(u, v), z(u, v) — декартовы координаты произвольной точки
X ∈ Ф. Введем в рассмотрение функцию p = r2/2, где r = ОХ.
Имеем рu = (r, ru), puu = r2u + (r, ruu) =
Е + Г111ρu + Г211ρv + L(r, ν),
откуда
ρ11 - E = L(r, ν) (3.76)
где ρ11 = ρuu - Г111ρu - Г211ρv.
Аналогично
ρ12 - F = M(r, ν), ρ22 - G = N(r, ν) (3.77)
Нетрудно проверить, что
(r, ν)2 = 2ρ — Δ1ρ (3.78)
В результате мы приходим к следующему уравнению Дарбу для
функции ρ:
(ρ11 - Е)(ρ22 - G) - (ρ12 - F)2
= K(EG - F2)(2ρ - Δ1ρ), (3.79)
причем из (3.78) получаем, что 2ρ - Δ1ρ > 0.
|