Пусть поверхность Ф класса Ck (k ≥ 3) определяется погружением
квадрата J2 плоскости u, v в пространство Е3. Это погружение задается
вектор-функцией r = r(u, v) ∈ Ck, причем ru × rv ≠ 0.
Поскольку ниже мы изучаем лишь локальные свойства
поверхности, то можно считать, что Ф определяется вложением.
Пусть X(u0, v0) — точка поверхности Ф, соответствующая
точке (u0, v0) ∈ J2. Если в Е3 ввести декартовы координаты х, у, z так,
что начало координат лежит в точке X(u0, v0), а оси х, у — в
касательной плоскости Т×Ф, то в некоторой окрестности точки X(u0, v0)
поверхность Ф может быть задана явным уравнением
z = f(x, y) ∈ Ck (3.22)
Действительно, в точке (u0, v0)
а потому в окрестности точки (u0, v0) из системы
x = x(u, v)
y = y(u, v)
можно явно выразить u, v через х и у и подставить эти выражения в
z = z (u, v). При указанном выборе координат, очевидно, выполняются равенства
f(0,0) = fx(0,0) = fy(0,0) = 0 (3.23)
Второй квадратичной формой поверхности Ф называется форма
II = (d2r, ν) = (ruu(u, v), ν(u, v))du2 + 2(ruv(u, v), ν(u, v))dudv +
rvv(u, v), ν(u, v))dv2.
Как обычно, коэффициенты формы II обозначаем соответственно
L(u, v), M(u, v), N(u, v).
Поскольку (dr, ν) = 0, то, дифференцируя это равенство, получаем
(d2r, ν) + (dr, dν) = 0. (3.24)
Отсюда
II = — (dr, dν)
и
L(u, v) = (ruu, ν) = —(ru, νu),
M(u, v) = (ruv, ν) = —(ru, νv) = —(rv, νu), (3.25)
N(u, v) = (rvv, ν) = —(rv, νv).
Рассмотрим на поверхности Ф регулярную кривую γ, заданную
уравнениями u = u(s), v = v(s) и проходящую через точку Х(u0,
v0), где u0 = u(s0), v0 = v(s0). Вектор кривизны кривой γ в точке X
вычисляется по формуле
(3.26)
Умножая скалярно (3.26) на ν, получаем
(3.27) и (3.28)
где θ — угол между ν и n.
Правая часть равенства (3.28) в точке X(u0, v0) зависит лишь
от отношения du : dv, задающего направление кривой γ на Ф в этой
точке.
Нормальной кривизной поверхности Ф в точке X (u0, v0) в
направлении du : dv называется величина
kn = II/I (3.29)
Из равенств (3.20) и (3.27) вытекает, что kn есть нормальная
кривизна поверхностной полосы Р(γ, ν), определяемой кривой γ ∈ Ф
и вектором нормали ν. Из равенств (3.27) и (3.29) получается
Теорема 1 (Менье)
k cos(θ) = kn. (3.30)
Нормальным сечением поверхности Ф в точке X(u0, v0) в
направлении du : dv называется кривая, полученная пересечением Ф и
плоскости, проходящей через векторы ν и rudu + rvdv. Для
нормального сечения cos θ = ±1, а потому из теоремы Менье
вытекает, что кривизна нормального сечения с точностью до знака
совпадает с нормальной кривизной поверхности в данном направлении.
Знаки совпадают, если ν = n, и противоположны, если ν = —n.
Если поверхность Ф задана уравнением (3.22), то
(3.31)
Поэтому коэффициенты I и II в этом случае имеют вид
(3.32)
где p = fx, q = fy, r = fxx, s = fxy, t = fyy. Если оси х, y лежат в
касательной плоскости ТxФ, а начало координат — в точке X ∈ Ф,
то, используя формулу Тейлора и (3.23), получаем
z=f(x,y)=1/2[fxx(0,0)x2 + 2fxy(0,0)xy + fyy(0,0)y2]+ε(x,y)(x2 + y2), (3.33)
где ε(x, y) → 0 при x2 + y2 → 0. Поверхность Ф*, заданная уравнением
z=f*(x,y)=1/2[fxx(0,0)x2 + 2fxy(0,0)xy + fyy(0,0)y2],(3,34)
называется соприкасающимся параболоидом поверхности Ф в точке
X. Как видно из (3.33) и (3.34), Ф* аппроксимирует Ф в
окрестности точки X с точностью до бесконечно малых выше второго
порядка. Из формул (3.31), (3.32) вытекает, что в точке X
поверхности Ф и Ф* имеют одинаковые первую и вторую квадратичные
формы:
I = I* = dx2 + dy2, II = II* = fxx(0, 0)dx2 + ... , (3.35)
а также равные нормальные кривизны для одинаковых направлений.
Выберем в плоскости TхФ оси х', у' так, чтобы форма II привелась к каноническому виду:
II = k1dx'2 + k2dy'2. (3.36)
В этом случае fx'x'(0,0) = k1, fx'y'(0,0) = 0, fy'y'(0,0) = k2
Направления осей х', y' называются главными для поверхности Ф в точке X.
В координатах x', y' уравнение (3.34) поверхности Ф* приводится к виду
z = 1/2(k1x'2 + k2y'2) (3.37)
Пусть направление dx' : dy' образует угол φ с осью х'. Тогда
нормальная кривизна kn(φ) в этом направлении вычисляется по формуле
Равенство
kn(φ) = k1cos2(φ) + k2sin2(φ) (3.38)
называется теоремой Эйлера.
Если k1 = k2, то, очевидно,
kn(φ) = k1 = k2 = const. Точка
X в этом случае называется омбилической точкой поверхности Ф.
Если k1 > k2, то, записывая (3.38) в виде
kn(φ) = k1 — (k1 — k2)sin2(φ),
получаем, что kn(φ) имеет ровно два экстремальных
значения, одно из которых равно k1, а второе равно k2. Первому
соответствует φ = 0, π, второму соответствует φ = π/2, 3π/2.
Величины k1 и k2 называются главными нормальными кривизна-
кривизнами поверхности Ф в точке X. Гауссовой кривизной поверхности Ф
в точке X называется величина
K = k1k2. (3.39)
Средняя кривизна поверхности определяется равенством
H = 1/2(k1 + k2). (3.40)
По знаку гауссовой кривизны K точки на поверхности Ф
делятся на эллиптические (K > 0), гиперболические (K < 0),
параболические (K = 0 и k12 + k22 > 0) и точки уплощения (K = 0 и k1
= k2 = 0). В первых двух случаях поверхность в окрестности
точки X с точностью до бесконечно малых выше второго порядка
аппроксимируется эллиптическим или гиперболическим
параболоидом. В третьем случае поверхность аппроксимируется
параболическим цилиндром. В последнем случае строение поверхности в
окрестности точки X может быть более сложным.
Используя экстремальные свойства главных направлений и
главных нормальных кривизн, можно получить для их вычисления
следующие квадратные уравнения:
(ЕМ — LF)du2 + (EN — LG)dudv + (FN — MG)dv2 = 0,
(EG — F2)k2 — (LG — 2MF + NE)k + (LN — M2) = 0. (3.41)
Из (3.41) для K и Н находим формулы
(3.42) и (3.43)
В случае явного задания поверхности уравнением (3.22), получаем (см.(3.32))
(3.44) и (3.45)
Направление в точке X ∈ Ф называется асимптотическим,
если в этом направлении kn = 0. Как видно из (3.38), в
эллиптической точке нет асимптотических направлений, в гиперболической
ровно два таких направления, в параболической только одно, а в
точке уплощения все направления асимптотические.
Аналогом формул Френе для поверхности являются так
называемые деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена. В этом
случае роль сопровождающего трехгранника играют векторы ru, rv и
ν, по которым раскладываются производные этих векторов. Имеем
(3.46)
Умножая (3.46) скалярно на ν, получаем
λ1 = L, λ2 = M, λ3 = N, γ1 = γ2 = 0. (3.47)
Теперь, умножая (3.46) на ru и rv и используя равенства
(3.48)
получаем для определения Гkij, часто называемых коэффициентами
Кристоффеля, и α1, α2, β1, β2 уравнения
(3.49) и (3.50)
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Зависимость между ними порождается следующими очевидными равенствами:
(ruu)v = (ruv)u; (rvv)u = (ruv)v;
(vu)v = (vv)u. (3.51)
С помощью деривационных формул из (3.51) получаем ровно три
независимых соотношения, причем одно из них выражает гауссову кривизну через коэффициенты первой квадратичной формы и их
производные первых двух порядков. Это соотношение есть теорема Гаусса. Два других соотношения
(3.52)
носят название формул Петерсона — Кодацци.
Все изложенные выше факты, связанные с понятием второй
квадратичной формы, легко обобщаются для гиперповерхностей в En+1,
n > 2. Дословно повторяются определения второй квадратичной формы
II = (d2r, v) = — (dr, dv), (3.53)
теорема Менье, определение нормальной кривизны.
Пусть гиперповерхность Ф в Еn+1 задается вектор-функцией
r = r(u1, ..., un) ∈ Ck, k ≥ 2. (3.54)
Тогда коэффициенты bij второй квадратичной формы II = Σni,j=1 bijduiduj
определяются формулами
bij = (rij, v) = -(ri, vj) = -(rj, vi) (3.55)
где ri = ∂r/∂ui, vi = ∂v/∂ui, rij = ∂2r/∂ui∂uj
Если Ф задана уравнением
xn+1 = f(x1, ..., xn) ∈ Ck, k ≥ 2, (3.56)
в декартовых координатах x1, ..., xn+1, то коэффициенты I и II вычисляются по формулам
gii = 1 + p2i, gij = pipj (i ≠ j) (3.57)
где pi = ∂f/∂xi,
(3.58)
где i,j = 1, ..., n.
Перейдем к построению соприкасающегося параболоида к Ф в
точке Х0 ∈ Ф. Выберем в En+1 такие декартовы координаты
x1, ..., xn, xn+1 чтобы Х0 была началом координат, а касательная
плоскость ТX0Ф имела уравнение xn+1 = 0.
Тогда в некоторой окрестности точки Х0 гиперповерхность Ф
задается уравнением (3.56), причем
f(0, ..., 0) = p1(0, ..., 0) = ... = pn(0, ..., 0) = 0 (3.59)
Соприкасающийся параболоид Ф* гиперповерхности Ф в точке Х0 определяется уравнением
(3.60)
Как и выше, коэффициенты k1, ..., kn в каноническом уравнении Ф*
(3.61)
называются главными нормальными кривизнами поверхности Ф в
точке Х0. Они являются корнями следующего уравнения:
Det|bij - kgij| = 0 (3.62)
Гауссова и средняя кривизны гиперповерхности Ф в точке Х0, как и выше, определяются равенствами
K = k1 ... kn, H = (k1 + ... + kn)/n. (3.63)
Из (3.62) и (3.63) вытекает, что
K = Det||bij|| / Det||gij|| = 0. (3.64)
Для гиперповерхности, заданной уравнением (3.56),
(3.65)
и
(3.66)
где p2 = p21 + ... + p2n = |grad f|2.
Естественным образом обобщаются теорема Эйлера,
деривационные формулы и формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци. Если
Ф есть m-поверхность класса Сk(k ≥ 2) в Еn и v — орт некоторой
нормали к Ф в точке Х0 ∈ Ф, то вторая квадратичная форма II (v),
соответствующая нормали v, как и выше, определяется равенством
II (v) = (d2r, v). (3.67)
Таким образом, если n - m > 1, то в каждой точке поверхность Ф
имеет бесконечное множество вторых квадратичных форм,
соответствующих различным нормалям к Ф в этой точке. Имеют место следующие теоремы.
Теорема 2. Пусть f и g — два k-регулярных (k ≥ 2)
погружения ориентированного n-мерного многообразия W в En+l. Если
они индуцируют одну и ту же риманову метрику и одну и ту же
вторую квадратичную форму, то g = d • f, где d — движение в
Еn+l
Теорема 3. Пусть в области Q параметров u, v заданы две
квадратичные формы Е(u, v)du2 + 2F(u, v)dudv + G(u, v)dv2,
L(u, v)du2 + 2M(u, v)dudv + N(u, v)dv2, из которых первая положительно определена и коэффициенты которых удовлетворяют
соотношению (3.52). Тогда у каждой точки (u0, v0) ∈ Q найдется такая окрестность Ω ⊂ Q, что существует погружение
f: Ω → Е3, для которого данные формы будут соответственно первой и второй квадратичными формами.
Теорема 2 в случае n = 2 и теорема 3 доказаны О. Бонне. Теорема 3 допускает обобщение для произвольного n (см. [92]).
Вернемся к поверхностям в Е3. Пусть L — регулярная кривая
на поверхности Ф в Е3. Рассмотрим поверхностную полосу Р = {L, v}. Геодезической кривизной kg кривой L называется
геодезическая кривизна полосы Р = {L, v}, а геодезическим кручением τg
кривой L — геодезическое кручение Р.
Из третьей формулы (3.20) легко следует, что τg зависит, как и
kn, только от направления на поверхности в точке X Поэтому
можно говорить о геодезическом кручении поверхности в направлении
кривой L. Для геодезического кручения имеет место следующая
формула О. Бонне, аналогичная в известном смысле формуле Эйлера:
τg = (k2 - k1)sinφ cosφ, (3.68)
где k1, k2 и φ имеют тот же смысл, что и в (3.38). Из (3.68) видно,
что τg = 0 только в главных направлениях.
Для доказательства формулы (3.68) введем в пространстве
декартовы координаты х, у, z с началом в точке X и осями х, у, которые
идут в главных направлениях поверхности Ф в этой точке. Тогда
в этой системе координат единичная нормаль v и Ф в точке X
имеет составляющие {0, 0, 1}, а dr/ds = {cosφ, sinφ, 0}. Используя
деривационные формулы (3.46) и соотношения (3.50), получаем, что
dv/ds|X = {-k1cosφ, - k1sinφ, 0}. Поэтому имеем
τg = (dr/ds, v, dv/ds) = (k2 - k1)sinφ cosφ.
Если Р = {L, v} — асимптотическая или геодезическая полоса,
то L называется асимптотической или соответственно геодезической
линией на поверхности Ф. Касательная к асимптотической линии
на Ф идет в асимптотическом направлении, и kn ≡ 0 вдоль L.
В этом случае касательная плоскость к Ф будет соприкасающейся
плоскостью кривой L. Вдоль геодезической главная нормаль
совпадает с нормалью к поверхности Ф и kg ≡ 0.
Кривая L называется линией кривизны поверхности Ф, если L
идет в каждой точке в одном из двух главных направлений. Вдоль
линий кривизны τg ≡ 0.
В окрестности каждой неомбилической точки поверхности можно
ввести координатную сеть из линий кривизны. Эта сеть
ортогональна, поскольку главные направления в каждой неомбилической точке ортогональны.
Для такой сети F ≡ М ≡ 0. В окрестности
каждой гиперболической точки на поверхности можно ввести
координатную сеть из асимптотических линий. В этой сети вторая
квадратичная форма поверхности имеет вид
II = 2Mdudv. (3.69)
|