Bodrenko.com Bodrenko.org

§3.3 Основные факты внешней геометрии поверхностей

Назад //  Вперед

   Пусть поверхность Ф класса Ck (k ≥ 3) определяется погружением квадрата J2 плоскости u, v в пространство Е3. Это погружение задается вектор-функцией r = r(u, v) ∈ Ck, причем ru × rv ≠ 0. Поскольку ниже мы изучаем лишь локальные свойства поверхности, то можно считать, что Ф определяется вложением.

   Пусть X(u0, v0) — точка поверхности Ф, соответствующая точке (u0, v0) ∈ J2. Если в Е3 ввести декартовы координаты х, у, z так, что начало координат лежит в точке X(u0, v0), а оси х, у — в касательной плоскости Т×Ф, то в некоторой окрестности точки X(u0, v0) поверхность Ф может быть задана явным уравнением

z = f(x, y) ∈ Ck (3.22)

   Действительно, в точке (u0, v0)

а потому в окрестности точки (u0, v0) из системы

x = x(u, v)

y = y(u, v)

можно явно выразить u, v через х и у и подставить эти выражения в z = z (u, v). При указанном выборе координат, очевидно, выполняются равенства

f(0,0) = fx(0,0) = fy(0,0) = 0 (3.23)

   Второй квадратичной формой поверхности Ф называется форма

II = (d2r, ν) = (ruu(u, v), ν(u, v))du2 + 2(ruv(u, v), ν(u, v))dudv + rvv(u, v), ν(u, v))dv2.

Как обычно, коэффициенты формы II обозначаем соответственно L(u, v), M(u, v), N(u, v).

   Поскольку (dr, ν) = 0, то, дифференцируя это равенство, получаем

(d2r, ν) + (dr, dν) = 0.    (3.24)

Отсюда

II = — (dr, dν)

и

     L(u, v) = (ruu, ν) = —(ru, νu),

     M(u, v) = (ruv, ν) = —(ru, νv) = —(rv, νu), (3.25)

     N(u, v) = (rvv, ν) = —(rv, νv).

   Рассмотрим на поверхности Ф регулярную кривую γ, заданную уравнениями u = u(s), v = v(s) и проходящую через точку Х(u0, v0), где u0 = u(s0), v0 = v(s0). Вектор кривизны кривой γ в точке X вычисляется по формуле

(3.26)

   Умножая скалярно (3.26) на ν, получаем

(3.27) и (3.28)

где θ — угол между ν и n.

   Правая часть равенства (3.28) в точке X(u0, v0) зависит лишь от отношения du : dv, задающего направление кривой γ на Ф в этой точке.

   Нормальной кривизной поверхности Ф в точке X (u0, v0) в направлении du : dv называется величина

kn = II/I    (3.29)

Из равенств (3.20) и (3.27) вытекает, что kn есть нормальная кривизна поверхностной полосы Р(γ, ν), определяемой кривой γ ∈ Ф и вектором нормали ν. Из равенств (3.27) и (3.29) получается

   Теорема 1 (Менье)

k cos(θ) = kn.    (3.30)

Нормальным сечением поверхности Ф в точке X(u0, v0) в направлении du : dv называется кривая, полученная пересечением Ф и плоскости, проходящей через векторы ν и rudu + rvdv. Для нормального сечения cos θ = ±1, а потому из теоремы Менье вытекает, что кривизна нормального сечения с точностью до знака совпадает с нормальной кривизной поверхности в данном направлении. Знаки совпадают, если ν = n, и противоположны, если ν = —n.

   Если поверхность Ф задана уравнением (3.22), то

      (3.31)

   Поэтому коэффициенты I и II в этом случае имеют вид

      (3.32)

где p = fx, q = fy, r = fxx, s = fxy, t = fyy. Если оси х, y лежат в касательной плоскости ТxФ, а начало координат — в точке X ∈ Ф, то, используя формулу Тейлора и (3.23), получаем

z=f(x,y)=1/2[fxx(0,0)x2 + 2fxy(0,0)xy + fyy(0,0)y2]+ε(x,y)(x2 + y2), (3.33) где ε(x, y) → 0 при x2 + y2 → 0. Поверхность Ф*, заданная уравнением

z=f*(x,y)=1/2[fxx(0,0)x2 + 2fxy(0,0)xy + fyy(0,0)y2],(3,34)

называется соприкасающимся параболоидом поверхности Ф в точке X. Как видно из (3.33) и (3.34), Ф* аппроксимирует Ф в окрестности точки X с точностью до бесконечно малых выше второго порядка. Из формул (3.31), (3.32) вытекает, что в точке X поверхности Ф и Ф* имеют одинаковые первую и вторую квадратичные формы:

I = I* = dx2 + dy2, II = II* = fxx(0, 0)dx2 + ... , (3.35)

а также равные нормальные кривизны для одинаковых направлений.

   Выберем в плоскости TхФ оси х', у' так, чтобы форма II привелась к каноническому виду:

II = k1dx'2 + k2dy'2. (3.36)

В этом случае fx'x'(0,0) = k1, fx'y'(0,0) = 0, fy'y'(0,0) = k2 Направления осей х', y' называются главными для поверхности Ф в точке X. В координатах x', y' уравнение (3.34) поверхности Ф* приводится к виду

z = 1/2(k1x'2 + k2y'2) (3.37)

   Пусть направление dx' : dy' образует угол φ с осью х'. Тогда нормальная кривизна kn(φ) в этом направлении вычисляется по формуле

Равенство

kn(φ) = k1cos2(φ) + k2sin2(φ) (3.38)

называется теоремой Эйлера.

   Если k1 = k2, то, очевидно, kn(φ) = k1 = k2 = const. Точка X в этом случае называется омбилической точкой поверхности Ф.

   Если k1 > k2, то, записывая (3.38) в виде kn(φ) = k1 — (k1 — k2)sin2(φ), получаем, что kn(φ) имеет ровно два экстремальных значения, одно из которых равно k1, а второе равно k2. Первому соответствует φ = 0, π, второму соответствует φ = π/2, 3π/2.

   Величины k1 и k2 называются главными нормальными кривизна- кривизнами поверхности Ф в точке X. Гауссовой кривизной поверхности Ф в точке X называется величина

K = k1k2. (3.39)

Средняя кривизна поверхности определяется равенством

H = 1/2(k1 + k2). (3.40)

   По знаку гауссовой кривизны K точки на поверхности Ф делятся на эллиптические (K > 0), гиперболические (K < 0), параболические (K = 0 и k12 + k22 > 0) и точки уплощения (K = 0 и k1 = k2 = 0). В первых двух случаях поверхность в окрестности точки X с точностью до бесконечно малых выше второго порядка аппроксимируется эллиптическим или гиперболическим параболоидом. В третьем случае поверхность аппроксимируется параболическим цилиндром. В последнем случае строение поверхности в окрестности точки X может быть более сложным.

   Используя экстремальные свойства главных направлений и главных нормальных кривизн, можно получить для их вычисления следующие квадратные уравнения:

(ЕМ — LF)du2 + (EN — LG)dudv + (FN — MG)dv2 = 0,   

(EG — F2)k2 — (LG — 2MF + NE)k + (LN — M2) = 0. (3.41)

Из (3.41) для K и Н находим формулы

(3.42) и (3.43)

   В случае явного задания поверхности уравнением (3.22), получаем (см.(3.32))

(3.44) и (3.45)

Направление в точке X ∈ Ф называется асимптотическим, если в этом направлении kn = 0. Как видно из (3.38), в эллиптической точке нет асимптотических направлений, в гиперболической ровно два таких направления, в параболической только одно, а в точке уплощения все направления асимптотические. Аналогом формул Френе для поверхности являются так называемые деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена. В этом случае роль сопровождающего трехгранника играют векторы ru, rv и ν, по которым раскладываются производные этих векторов. Имеем

(3.46)

Умножая (3.46) скалярно на ν, получаем

λ1 = L, λ2 = M, λ3 = N, γ1 = γ2 = 0. (3.47)

Теперь, умножая (3.46) на ru и rv и используя равенства

(3.48)

получаем для определения Гkij, часто называемых коэффициентами Кристоффеля, и α1, α2, β1, β2 уравнения

(3.49) и (3.50)

   Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Зависимость между ними порождается следующими очевидными равенствами:

(ruu)v = (ruv)u; (rvv)u = (ruv)v; (vu)v = (vv)u. (3.51)

   С помощью деривационных формул из (3.51) получаем ровно три независимых соотношения, причем одно из них выражает гауссову кривизну через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные первых двух порядков. Это соотношение есть теорема Гаусса. Два других соотношения

(3.52)

носят название формул Петерсона — Кодацци.

   Все изложенные выше факты, связанные с понятием второй квадратичной формы, легко обобщаются для гиперповерхностей в En+1, n > 2. Дословно повторяются определения второй квадратичной формы

II = (d2r, v) = — (dr, dv), (3.53)

теорема Менье, определение нормальной кривизны.

   Пусть гиперповерхность Ф в Еn+1 задается вектор-функцией

r = r(u1, ..., un) ∈ Ck, k ≥ 2. (3.54)

Тогда коэффициенты bij второй квадратичной формы II = Σni,j=1 bijduiduj определяются формулами

bij = (rij, v) = -(ri, vj) = -(rj, vi) (3.55)

где ri = ∂r/∂ui, vi = ∂v/∂ui, rij = ∂2r/∂ui∂uj

   Если Ф задана уравнением

xn+1 = f(x1, ..., xn) ∈ Ck, k ≥ 2, (3.56)

в декартовых координатах x1, ..., xn+1, то коэффициенты I и II вычисляются по формулам

gii = 1 + p2i, gij = pipj (i ≠ j) (3.57)

где pi = ∂f/∂xi,

(3.58)

где i,j = 1, ..., n.

   Перейдем к построению соприкасающегося параболоида к Ф в точке Х0 ∈ Ф. Выберем в En+1 такие декартовы координаты x1, ..., xn, xn+1 чтобы Х0 была началом координат, а касательная плоскость ТX0Ф имела уравнение xn+1 = 0.

   Тогда в некоторой окрестности точки Х0 гиперповерхность Ф задается уравнением (3.56), причем

f(0, ..., 0) = p1(0, ..., 0) = ... = pn(0, ..., 0) = 0 (3.59)

Соприкасающийся параболоид Ф* гиперповерхности Ф в точке Х0 определяется уравнением

(3.60)

   Как и выше, коэффициенты k1, ..., kn в каноническом уравнении Ф*

(3.61)

называются главными нормальными кривизнами поверхности Ф в точке Х0. Они являются корнями следующего уравнения:

Det|bij - kgij| = 0 (3.62)

Гауссова и средняя кривизны гиперповерхности Ф в точке Х0, как и выше, определяются равенствами

K = k1 ... kn, H = (k1 + ... + kn)/n. (3.63)

Из (3.62) и (3.63) вытекает, что

K = Det||bij|| / Det||gij|| = 0. (3.64)

Для гиперповерхности, заданной уравнением (3.56),

(3.65)

и

(3.66)

где p2 = p21 + ... + p2n = |grad f|2.

   Естественным образом обобщаются теорема Эйлера, деривационные формулы и формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци. Если Ф есть m-поверхность класса Сk(k ≥ 2) в Еn и v — орт некоторой нормали к Ф в точке Х0 ∈ Ф, то вторая квадратичная форма II (v), соответствующая нормали v, как и выше, определяется равенством

II (v) = (d2r, v). (3.67)

Таким образом, если n - m > 1, то в каждой точке поверхность Ф имеет бесконечное множество вторых квадратичных форм, соответствующих различным нормалям к Ф в этой точке. Имеют место следующие теоремы.

   Теорема 2. Пусть f и g — два k-регулярных (k ≥ 2) погружения ориентированного n-мерного многообразия W в En+l. Если они индуцируют одну и ту же риманову метрику и одну и ту же вторую квадратичную форму, то g = d • f, где d — движение в Еn+l

   Теорема 3. Пусть в области Q параметров u, v заданы две квадратичные формы Е(u, v)du2 + 2F(u, v)dudv + G(u, v)dv2,

L(u, v)du2 + 2M(u, v)dudv + N(u, v)dv2, из которых первая положительно определена и коэффициенты которых удовлетворяют соотношению (3.52). Тогда у каждой точки (u0, v0) ∈ Q найдется такая окрестность Ω ⊂ Q, что существует погружение f: Ω → Е3, для которого данные формы будут соответственно первой и второй квадратичными формами.

   Теорема 2 в случае n = 2 и теорема 3 доказаны О. Бонне. Теорема 3 допускает обобщение для произвольного n (см. [92]).

   Вернемся к поверхностям в Е3. Пусть L — регулярная кривая на поверхности Ф в Е3. Рассмотрим поверхностную полосу Р = {L, v}. Геодезической кривизной kg кривой L называется геодезическая кривизна полосы Р = {L, v}, а геодезическим кручением τg кривой L — геодезическое кручение Р.

   Из третьей формулы (3.20) легко следует, что τg зависит, как и kn, только от направления на поверхности в точке X Поэтому можно говорить о геодезическом кручении поверхности в направлении кривой L. Для геодезического кручения имеет место следующая формула О. Бонне, аналогичная в известном смысле формуле Эйлера:

τg = (k2 - k1)sinφ cosφ, (3.68)

где k1, k2 и φ имеют тот же смысл, что и в (3.38). Из (3.68) видно, что τg = 0 только в главных направлениях.

   Для доказательства формулы (3.68) введем в пространстве декартовы координаты х, у, z с началом в точке X и осями х, у, которые идут в главных направлениях поверхности Ф в этой точке. Тогда в этой системе координат единичная нормаль v и Ф в точке X имеет составляющие {0, 0, 1}, а dr/ds = {cosφ, sinφ, 0}. Используя деривационные формулы (3.46) и соотношения (3.50), получаем, что dv/ds|X = {-k1cosφ, - k1sinφ, 0}. Поэтому имеем

τg = (dr/ds, v, dv/ds) = (k2 - k1)sinφ cosφ.

   Если Р = {L, v} — асимптотическая или геодезическая полоса, то L называется асимптотической или соответственно геодезической линией на поверхности Ф. Касательная к асимптотической линии на Ф идет в асимптотическом направлении, и kn ≡ 0 вдоль L. В этом случае касательная плоскость к Ф будет соприкасающейся плоскостью кривой L. Вдоль геодезической главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности Ф и kg ≡ 0.

   Кривая L называется линией кривизны поверхности Ф, если L идет в каждой точке в одном из двух главных направлений. Вдоль линий кривизны τg ≡ 0.

   В окрестности каждой неомбилической точки поверхности можно ввести координатную сеть из линий кривизны. Эта сеть ортогональна, поскольку главные направления в каждой неомбилической точке ортогональны. Для такой сети F ≡ М ≡ 0. В окрестности каждой гиперболической точки на поверхности можно ввести координатную сеть из асимптотических линий. В этой сети вторая квадратичная форма поверхности имеет вид

II = 2Mdudv. (3.69)