|
Пусть кривая L задана
уравнением r = r(s), где s — естественный параметр. Вдоль кривой L
зададим вектор-функцию v(s), где v(s) — единичный вектор,
ортогональный касательному вектору t(s) = dr/ds. Будем говорить, что
вдоль кривой L задана поверхностная полоса Р = {L, v} с
нормалью v(s). Вектор ng(s) = v(s) × t(s) называется вектором
геодезической нормали полосы Р. Тройка векторов t, ng, v в каждой
точке кривой L образует репер, поэтому производные этих векторов
могут быть разложены по векторам этого репера:
dt/ds = a11t + a12ng +a13v
dng/dt = a21t + a22ng +a23v (3.16)
dv/dv = a31t + a32ng +a33v
Дифференцируя равенства
(t, t) = (ng, ng) = (v, v) = 1,
(t, ng) = (ng, v) = (v, t) = 0,
получаем
(dt/ds, t) = a11 = 0,
(dng/ds, ng) = a22 = 0,
(dv/ds, v) = a33 = 0;
(3.17)
(dt/ds, ng) + (t, dng/ds) = a12 + a21 = 0,
(dt/ds, v) + (t, dv/ds) = a13 + a31 = 0, (3.18)
(dng/ds, v) + (dv/ds, ng) = a23 + a32 = 0,
Функцию а12(s) назовем геодезической кривизной полосы Р и
обозначим kg(s); функцию а13(s) назовем нормальной кривизной
полосы Р и обозначим kn(s); наконец, функцию а23 назовем
геодезическим кручением полосы Р и обозначим τg(s). Используя эти
обозначения и равенства (3.16) — (3.18), получаем деривационные
формулы Френе для поверхностной полосы Р:
dt/ds = kgng + knv,
dng/ds = -kgt + τgv,
dv/ds = -knt - τgng.
(3.19)
Если вектор v коллинеарен главной нормали кривой L, то из
первой формулы Френе (3.11) вытекает, что kg = 0. Полоса, вдоль
которой kg ≡ 0, называется геодезической.
Если вектор v коллинеарен бинормали кривой L, то из третьей
формулы Френе (3.12) вытекает, что kn = 0. Полоса, вдоль
которой kn ≡ 0, называется асимптотической.
Величины kn(s), kg(s) и τg(s) вычисляются по формулам
kn(s) = (d2r/ds2, v),
kg(s) = (dr/ds, d2r/ds2, v),
τg(s) = (dr/ds , v, dv/ds). (3.20)
В дальнейшем используется также формула для геодезической
кривизны полосы в случае, когда кривая L задана уравнением r = r(t), а нормаль полосы — уравнением v = v (t),
где t — произвольный параметр:
|