Bodrenko.com Bodrenko.org
§3.2 Поверхностные полосы Назад // Вперед

   Пусть кривая L задана уравнением r = r(s), где s — естественный параметр. Вдоль кривой L зададим вектор-функцию v(s), где v(s) — единичный вектор, ортогональный касательному вектору t(s) = dr/ds. Будем говорить, что вдоль кривой L задана поверхностная полоса Р = {L, v} с нормалью v(s). Вектор ng(s) = v(s) × t(s) называется вектором геодезической нормали полосы Р. Тройка векторов t, ng, v в каждой точке кривой L образует репер, поэтому производные этих векторов могут быть разложены по векторам этого репера:

dt/ds = a11t + a12ng +a13v         

dng/dt = a21t + a22ng +a23v   (3.16)

dv/dv = a31t + a32ng +a33v         

Дифференцируя равенства

(t, t) = (ng, ng) = (v, v) = 1,

(t, ng) = (ng, v) = (v, t) = 0,

получаем

(dt/ds, t) = a11 = 0, (dng/ds, ng) = a22 = 0, (dv/ds, v) = a33 = 0; (3.17)

(dt/ds, ng) + (t, dng/ds) = a12 + a21 = 0,         

(dt/ds, v) + (t, dv/ds) = a13 + a31 = 0,   (3.18)

(dng/ds, v) + (dv/ds, ng) = a23 + a32 = 0,         

   Функцию а12(s) назовем геодезической кривизной полосы Р и обозначим kg(s); функцию а13(s) назовем нормальной кривизной полосы Р и обозначим kn(s); наконец, функцию а23 назовем геодезическим кручением полосы Р и обозначим τg(s). Используя эти обозначения и равенства (3.16) — (3.18), получаем деривационные формулы Френе для поверхностной полосы Р:

dt/ds = kgng + knv, dng/ds = -kgt + τgv, dv/ds = -knt - τgng. (3.19)

   Если вектор v коллинеарен главной нормали кривой L, то из первой формулы Френе (3.11) вытекает, что kg = 0. Полоса, вдоль которой kg ≡ 0, называется геодезической.

   Если вектор v коллинеарен бинормали кривой L, то из третьей формулы Френе (3.12) вытекает, что kn = 0. Полоса, вдоль которой kn ≡ 0, называется асимптотической.

   Величины kn(s), kg(s) и τg(s) вычисляются по формулам

kn(s) = (d2r/ds2, v),     kg(s) = (dr/ds, d2r/ds2, v),

τg(s) = (dr/ds , v, dv/ds).   (3.20)

   В дальнейшем используется также формула для геодезической кривизны полосы в случае, когда кривая L задана уравнением r = r(t), а нормаль полосы — уравнением v = v (t), где t — произвольный параметр: