Bodrenko.com Bodrenko.org
Глава 3. Краткие сведения из дифференциальной геометрии Назад // Вперед

   В этом параграфе напоминаются основные факты дифференциальной геометрии кривых и поверхностей в E3. Большинство из них мы излагаем без доказательств, которые читатель может найти в любом курсе дифференциальной геометрии.

   Вводимые ниже понятия не зависят от выбора конкретной параметризации кривой или поверхности. Эта независимость каждый раз либо вытекает непосредственно из их определения, либо легко следует из формул перехода от одних параметров, задающих соответствующий геометрический объект, к другим. Ниже мы не будем специально останавливаться на проверке корректности вводимых понятий. В ряде случаев даются n-мерные обобщения.

§3.1. Основные факты теории кривых.

    Пусть кривая L класса Ck (k ≥ 3) определяется погружением

X: (a, b) → E3.   (3.1)

   Погружение X каждой точке t ∈ (а, b) ставит в соответствие точку X(t) ∈ E3. Если х, у, z — декартовы координаты в Е3, то X(t) = (x(t), y(t), z(t)). Уравнения

x = x(t), y = y(t), z = z(t)   (3.2)

называются параметрическими уравнениями кривой L в пространстве. Точка X(t) является также концом радиуса-вектора

r(t) = {x(t), y(f), z(t)}.   (3.3)

Условие регулярности (2.5) кривой L означает, что

x(t) ∈ Ck, y(t) ∈ Ck, z(t) ∈ Ck   (3.4)

и

x'2

   Направляющим вектором касательной к кривой L в точке X(t) будет вектор r'(t). Пусть отрезку [α, β] ⊂ (а, b) на L соответствует дуга L[а, b]. Длина s(α, β) этой дуги вычисляется по формуле

s(α, β)********

Если s—естественный параметр на кривой L, то t(s) = dr/ds - единичныи вектор касательной. Вектор dr/ds = d2r/ds2 называется вектором кривизны кривой L, а его длина k(s) = |d2r/ds2| — кривизной кривой L. Очевидно, вектор кривизны есть скорость вращения касательной. Если k(s) > 0, то единичный вектор

**********

называется вектором главной нормали кривой L. Поскольку t2 = 1, то, дифференцируя это равенство, получаем, что (t(s), dt/ds) = 0, т. е. векторы t(s) и n(s) ортогональны. Единичный вектор

b(s) = t(s) × n(s)   (3.8)

называется вектором бинормали кривой L. Единичные векторы t, n, b попарно ортогональны и образуют правую тройку.

   Плоскость, проходящая через точку X(s) ∈ L перпендикулярно вектору b(s), называется соприкасающейся плоскостью кривой L в точке X(s).

   Дифференцируя равенство (3.8) и учитывая (3.7), получаем

т. е. вектор db/ds ортогонален t. Поскольку db/ds ортогонален b, то

db/ds = λ(s)n(s).   (3.9)

   Функция

τ(s) = -λ(s)   (3.10)

называется кручением кривой L. Из (3.9) следует, что кручение характеризует скорость вращения соприкасающейся плоскости вокруг касательной и тождественно равно нулю, если кривая L плоская. Верно и обратное: если τ(s) ≡ 0, то L — плоская кривая. Из (3.7) и (3.9) получаем равенства

dt/ds = k(s)n   (3.11)

и

db/ds = -τ(s)n,   (3.12)

называемые соответственно первой и третьей формулами Френе. Дифференцируя равенство n = b &tames; t и используя (3.11), (3.12), получаем вторую формулу Френе:

dn/ds = -k(s)t + τ(s)b.   (3.13)

   Для кривизны и кручения кривой имеют место формулы

***************   (3.14)