§3.1. Основные факты теории кривых.
Пусть кривая L класса
Ck (k ≥ 3) определяется погружением
X: (a, b) → E3. (3.1)
Погружение X каждой точке t ∈ (а, b) ставит в соответствие
точку X(t) ∈ E3. Если х, у, z — декартовы координаты в Е3,
то X(t) = (x(t), y(t), z(t)). Уравнения
x = x(t), y = y(t), z = z(t) (3.2)
называются параметрическими уравнениями кривой L в
пространстве. Точка X(t) является также концом радиуса-вектора
r(t) = {x(t), y(t), z(t)}. (3.3)
Условие регулярности (2.5) кривой L означает, что
x(t) ∈ Ck, y(t) ∈ Ck, z(t) ∈ Ck (3.4)
и
x'2 + y'2 + z'2 > 0 (3.5)
Направляющим вектором касательной к кривой L в точке X(t)
будет вектор r'(t). Пусть отрезку [α, β] ⊂ (а, b) на L соответствует
дуга L[а, b]. Длина s(α, β) этой дуги вычисляется по формуле
(3.6)
Если s—естественный параметр на кривой L, то t(s) = dr/ds - единичныи вектор касательной.
Вектор dr/ds = d2r/ds2 называется
вектором кривизны кривой L, а его длина k(s) = |d2r/ds2| — кривизной кривой L.
Очевидно, вектор кривизны есть скорость вращения касательной. Если k(s) > 0, то единичный вектор
(3.7)
называется вектором главной нормали кривой L. Поскольку t2 = 1, то, дифференцируя это равенство,
получаем, что (t(s), dt/ds) = 0, т. е. векторы t(s) и n(s) ортогональны. Единичный вектор
b(s) = t(s) × n(s) (3.8)
называется вектором бинормали кривой L. Единичные векторы t, n, b попарно ортогональны и образуют правую тройку.
Плоскость, проходящая через точку X(s) ∈ L перпендикулярно
вектору b(s), называется соприкасающейся плоскостью кривой L в точке X(s).
Дифференцируя равенство (3.8) и учитывая (3.7), получаем
т. е. вектор db/ds ортогонален t. Поскольку db/ds ортогонален b, то
db/ds = λ(s)n(s). (3.9)
Функция
τ(s) = -λ(s) (3.10)
называется кручением кривой L. Из (3.9) следует, что кручение
характеризует скорость вращения соприкасающейся плоскости
вокруг касательной и тождественно равно нулю, если кривая L плоская.
Верно и обратное: если τ(s) ≡ 0, то L — плоская кривая.
Из (3.7) и (3.9) получаем равенства
dt/ds = k(s)n (3.11)
и
db/ds = -τ(s)n, (3.12)
называемые соответственно первой и третьей формулами Френе.
Дифференцируя равенство n = b × t и используя (3.11), (3.12),
получаем вторую формулу Френе:
dn/ds = -k(s)t + τ(s)b. (3.13)
Для кривизны и кручения кривой имеют место формулы
(3.14) и (3.15)
|