Bodrenko.com Bodrenko.org
§2.7 Поверхность как многообразие с внутренней метрикой Назад // Вперед

   Пусть Φ — m-поверхность в Еn. Допустим, что каждые две точки X, Y ∈ Φ соединимы спрямляемой кривой γ ⊂ Φ. Положим ρΦ (X, Y) = inf s (γ), где точная нижняя граница берется по всевозможным спрямляемым кривым на поверхности Φ с концами в точках X, Y. Можно доказать, что ρΦ (X, Y) будет внутренней метрикой на Φ и тем самым Φ превращается в метрическое многообразие (Φ, ρΦ) с внутренней метрикой ρΦ, которая индуцирована метрикой Еn.

   В случае, когда m = 2 и Φ - С2-поверхность, метрическое многообразие (Φ, ρΦ) есть двумерное многообразие ограниченной кривизны в смысле А. Д. Александрова.

   Пусть Φ1 и Φ2 — две поверхности в Еn, для которых определены метрические многообразия 1, ρΦ1) и 2, ρΦ2). Поверхности Φ1 и Φ2 будем называть изометричными, если существует изометрия f: (Φ1, ρΦ1) → (Φ2, ρΦ2). Очевидно, f является гомеоморфизмом поверхности Φ1 на Φ2. Тем самым изометричные поверхности Φ1 и Φ2 имеют одинаковую размерность.

   Под внутренней геометрией поверхности Φ в Еn понимают совокупность понятий и фактов, зависящих лишь от метрики ρΦ. Для регулярной поверхности внутренняя геометрия полностью определяется первой квадратичной формой поверхности.