Пусть Φ — m-поверхность в Еⁿ. Допустим, что каждые две точки X, Y ∈ Φ соединимы спрямляемой кривой γ ⊂ Φ. Положим ρ_Φ (X, Y) = inf s (γ), где точная нижняя граница берется по всевозможным спрямляемым кривым на поверхности Φ с концами в точках X, Y. Можно доказать, что ρ_Φ (X, Y) будет внутренней метрикой на Φ и тем самым Φ превращается в метрическое многообразие (Φ, ρ_Φ) с внутренней метрикой ρ_Φ, которая индуцирована метрикой Еⁿ.

   В случае, когда m = 2 и Φ - С²-поверхность, метрическое многообразие (Φ, ρ_Φ) есть двумерное многообразие ограниченной кривизны в смысле А. Д. Александрова.

   Пусть Φ₁ и Φ₂ — две поверхности в Еⁿ, для которых определены метрические многообразия (Φ₁, ρ_Φ1) и (Φ₂, ρ_Φ2). Поверхности Φ₁ и Φ₂ будем называть изометричными, если существует изометрия f: (Φ₁, ρ_Φ1) → (Φ₂, ρ_Φ2). Очевидно, f является гомеоморфизмом поверхности Φ₁ на Φ₂. Тем самым изометричные поверхности Φ₁ и Φ₂ имеют одинаковую размерность.

   Под внутренней геометрией поверхности Φ в Еⁿ понимают совокупность понятий и фактов, зависящих лишь от метрики ρ_Φ. Для регулярной поверхности внутренняя геометрия полностью определяется первой квадратичной формой поверхности.